Bài 17 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M, N, P\) là các điểm chia các đoạn thẳng \(AB, BC, CA\) theo cùng tỉ số \(k \ne 1\). Chứng minh rằng hai tam giác \(ABC\) và \(MNP\) có cùng trọng tâm.

Lời giải chi tiết

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(MNP\) thì ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GP}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\,\frac{{\overrightarrow {GA}  - k\overrightarrow {GB} }}{{1 - k}} + \frac{{\overrightarrow {GB}  - k\overrightarrow {GC} }}{{1 - k}} + \frac{{\overrightarrow {GC}  - k\overrightarrow {GA} }}{{1 - k}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {GA}  - k\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GB}  - k\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GC}  - k\overrightarrow {GA} }}{{1 - k}} = \overrightarrow 0  \\\Leftrightarrow \frac{{\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) - k\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right)}}{{1 - k}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right)}}{{1 - k}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \end{array}\)

Loigiaihay.com