Bài 16 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao

LG a

Xét vị trí của điểm \(M\) đối với hai điểm \(A, B\) trong các trường hợp:

\(k \le 0;0 < k < 1;\,k > 1;\,k =  - 1.\)

Lời giải chi tiết:

+) Nếu \(k \le 0\) thì \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow 0 \) hoặc \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) ngược hướng.

Do đó \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\), hoặc trùng với \(A.\)

+) Nếu \(0 < k < 1\) thì \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) cùng hướng hay \(A,B\) nằm cùng phía so với \(M\)

Mà \(0 < k < 1\) nên \(MA < MB\) hay \(A\) nằm giữa \(M\) và \(B\).

+) Nếu \(k > 1\) thì \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) cùng hướng hay \(A,B\) nằm cùng phía so với \(M\)

Mà k>1 nên MA>MB hay \(B\) nằm giữa \(A\) và \(M\).

Nếu \(k = -1\) thì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

LG b

Nếu \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k\,\) ( \(k \ne 1\) và \(k \ne 0\)) thì \(M\) chia đoạn thẳng \(BA\)  theo tỉ số nào?

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết: \(k \ne 0\) và \(k \ne 1\) ta có

\(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k\, \Leftrightarrow \,\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB}\)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MB}  = \dfrac{1}{k}\overrightarrow {MA} \)

\(\Leftrightarrow \,\,M\) chia đoạn thẳng BA theo tỉ số \(\dfrac{1}{k}\).

LG c

Nếu \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k\,\) ( \(k \ne 1\) và \(k \ne 0\)) thì \(A\) chia đoạn thẳng \(MB\)  theo tỉ số nào? \(B\) chia đoạn thẳng \(MA\)  theo tỉ lệ nào?

Lời giải chi tiết:

M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số  \(k\)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB}\)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA}  = k(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB} )\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} - k\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {AB} \\
\Leftrightarrow \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {AB} \\
\Leftrightarrow \left( {k - 1} \right)\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB}
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow  \overrightarrow {AM}  = \dfrac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {AB}\)

\(\Leftrightarrow \,\,A\) chia đoạn thẳng MB theo tỉ số \(\dfrac{k}{{k - 1}}\).

M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số \(k\)

\(\begin{array}{l}\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BM}  = k\overrightarrow {MB} \,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = k\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BM} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  =  - k\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {BM}  \\\Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BM} \\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BM}  = \dfrac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {BA} \,\end{array}\)

\( \Leftrightarrow B\) chia đoạn thẳng MA theo tỉ số \(\dfrac{1}{{1 - k}}\)

LG d

Chứng minh rằng: Nếu điểm \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k \ne 1\) thì với điểm \(O\) bất kì, ta luôn có

\(\overrightarrow {OM}  = \dfrac{{\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OB} }}{{1 - k}}\).

Lời giải chi tiết:

M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số \(k\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OM}  = k(\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OM} )\) (trong đó O là điểm bất kì )

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OB}  = (1 - k)\overrightarrow {OM}   \cr  &  \Leftrightarrow \,\overrightarrow {OM}  = {{\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OB} } \over {1 - k}} \cr} \)

Loigiaihay.com