Bài 16 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao

LG a

Xét vị trí của điểm $M$ đối với hai điểm $A, B$ trong các trường hợp:

$k \le 0;0 < k < 1;\,k > 1;\,k =  - 1.$

Lời giải chi tiết:

+) Nếu $k \le 0$ thì $\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow 0$ hoặc $\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB}$ ngược hướng.

Do đó $M$ nằm giữa $A$ và $B$, hoặc trùng với $A.$

+) Nếu $0 < k < 1$ thì $\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB}$ cùng hướng hay $A,B$ nằm cùng phía so với $M$

Mà $0 < k < 1$ nên $MA < MB$ hay $A$ nằm giữa $M$ và $B$.

+) Nếu $k > 1$ thì $\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB}$ cùng hướng hay $A,B$ nằm cùng phía so với $M$

Mà k>1 nên MA>MB hay $B$ nằm giữa $A$ và $M$.

Nếu $k = -1$ thì $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

LG b

Nếu $M$ chia đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số $k\,$ ( $k \ne 1$ và $k \ne 0$) thì $M$ chia đoạn thẳng $BA$  theo tỉ số nào?

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết: $k \ne 0$ và $k \ne 1$ ta có

$M$ chia đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số $k\, \Leftrightarrow \,\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB}$

$\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MB}  = \dfrac{1}{k}\overrightarrow {MA}$

$\Leftrightarrow \,\,M$ chia đoạn thẳng BA theo tỉ số $\dfrac{1}{k}$.

LG c

Nếu $M$ chia đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số $k\,$ ( $k \ne 1$ và $k \ne 0$) thì $A$ chia đoạn thẳng $MB$  theo tỉ số nào? $B$ chia đoạn thẳng $MA$  theo tỉ lệ nào?

Lời giải chi tiết:

M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số  $k$

$\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB}$

$\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA}  = k(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB} )$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} - k\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \left( {k - 1} \right)\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} \end{array}$

$\Leftrightarrow  \overrightarrow {AM}  = \dfrac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {AB}$

$\Leftrightarrow \,\,A$ chia đoạn thẳng MB theo tỉ số $\dfrac{k}{{k - 1}}$.

M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số $k$

$\begin{array}{l}\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BM}  = k\overrightarrow {MB} \,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = k\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BM} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  =  - k\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {BM}  \\\Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BM} \\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BM}  = \dfrac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {BA} \,\end{array}$

$\Leftrightarrow B$ chia đoạn thẳng MA theo tỉ số $\dfrac{1}{{1 - k}}$

LG d

Chứng minh rằng: Nếu điểm $M$ chia đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số $k \ne 1$ thì với điểm $O$ bất kì, ta luôn có

$\overrightarrow {OM}  = \dfrac{{\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OB} }}{{1 - k}}$.

Lời giải chi tiết:

M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số $k\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB}$

$\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OM}  = k(\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OM} )$ (trong đó O là điểm bất kì )

$\eqalign{  &  \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OB}  = (1 - k)\overrightarrow {OM}   \cr  &  \Leftrightarrow \,\overrightarrow {OM}  = {{\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OB} } \over {1 - k}} \cr}$

Loigiaihay.com