Lý thuyết véc tơ trong không gian

1. Định nghĩa:

Véctơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu $\overrightarrow{AB}$ chỉ véctơ có điểm đầu $A$, điểm cuối $B$. Véctơ còn đc kí hiệu là $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$,...

2. Các quy tắc về véctơ

- Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BC}$.

                 Hoặc: $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{AB}$.

- Quy tắc hình bình hành: cho hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AD}$.

- Quy tắc trung tuyến: $AM$ là trung tuyến của tam giác $ABC$ thì: $\overrightarrow{AM}$ = $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).$

- Quy tắc trọng tâm: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì: $\overrightarrow{GA}$ + $\overrightarrow{GB}$ + $\overrightarrow{GC}$ = $\overrightarrow{0}$.

- Quy tắc hình hộp: cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ thì: $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{AA'}$ = $\overrightarrow{AC'}$.

3. Sự đồng phẳng của các véctơ, điều kiện để ba véctơ đồng phẳng

    Định nghĩa: ba véctơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

    Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng:

    Định lí 1: cho ba véctơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, trong đó véctơ  $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba véctơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng là có các số $m, n$ sao cho $\overrightarrow{c}$ = $m\overrightarrow{a}$ + $n\overrightarrow{b}$. Hơn nữa các số $m, n$ là duy nhất.

    Định lí 2: nếu $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$,  là ba véctơ không đồng phẳng thì với mỗi véctơ $\overrightarrow{d}$ ta tìm được các số $m, n, p$ sao cho $\overrightarrow{d}$ = $m\overrightarrow{a}$ + $n\overrightarrow{b}$ + $p\overrightarrow{c}$. Hơn nữa các số $m, n, p$ là duy nhất.

Loigiaihay.com