Lý thuyết về giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn

+) Cho khoảng $K$ chứa điểm $x_0$ và hàm số $y = f(x)$ xác định trên $K$ hoặc trên $K\backslash {\{x_0}\rm{\} }.$

$\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = L$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n ∈ K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}$ và $x_n\rightarrow x_0$_, ta có
$\lim f(x_n) =L$. 

+) Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(x_0; b)$.

$\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{\lim} f(x) = L$ khi và chỉ khi dãy số \((x_n) bất kì, $x_0<x_n< b$ và $x_n\rightarrow x_0$ ,ta có $\lim f(x_n) = L$.

+) Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; x_0)$.

$\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $a <x_n< x_0$ và $x_n\rightarrow x_0$, ta có
$\lim f(x_n) = L$.

+) Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; +∞)$.

$\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} f(x) = L$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n> a$, $x_n\rightarrow +\infty$ thì $lim f(x_n) = L$.

+) Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(-∞; a)$.

$\underset{x\rightarrow-\infty }{\lim} f(x) = L$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n< a$, $x_n\rightarrow -\infty$ thì $\lim f(x_n) = L$.

2. Giới hạn vô cực

Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau:

+) Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; +∞)$, $\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} f(x) = -∞$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n> a$, $x_n\rightarrow +\infty$ thì ta có $\lim f(x_n) = -∞$

+) Cho khoảng $K$ chứa điểm $x_0$ và hàm số $y = f(x)$ xác định trên $K$ hoặc trên $K\backslash {\{x_0}\rm{\} }.$

$\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = +∞$ và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n ∈K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}$ và $x_n\rightarrow x_0$ thì ta có: $\lim f(x_n) = +∞$.

Nhận xét: $f(x)$ có giới hạn $+∞$ khi và chỉ khi $-f(x)$ có giới hạn $-∞$.

3. Các giới hạn đặc biệt

a) $\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} x = x_0$;

b) $\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}c = c$;

c) $\underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim} c = c$;

d) $\underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim}$ $\frac{c}{x} = 0$ ($c$ là hằng số);

e) $\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} x^k= +∞$, với $k$ nguyên dương;

f) $\underset{x\rightarrow-\infty }{lim} x^k= -∞$, nếu $k$ là số lẻ;

g)  $\underset{x\rightarrow-\infty }{lim}x^k = +∞$ , nếu $k$ là số chẵn.

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1. 

a) Nếu $\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} = L$ và $\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}$ $g(x) = M$ thì:

$\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) + g(x)] = L + M$;

$\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) - g(x) = L - M$;

$\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) . g(x)] = L.M$;

$\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$= $\frac{L}{M}$ (nếu $M ≠ 0$).

b) Nếu $f(x) ≥ 0$ và $\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = L$, thì $L ≥ 0$ và $\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}\sqrt {f(x)} = \sqrt L$

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi $x_n\rightarrow +\infty$ hoặc $x_n\rightarrow -\infty$.

Định lí 2.

$\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = L$ khi và chỉ khi $\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{lim}$ f(x) = $\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L$.

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích $f(x).g(x)$

+ Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) =  \pm \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = L \ne 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]$ được cho trong bảng sau:

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương $\dfrac{f(x)}{g(x)}$

+ Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \ne 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0$ và $g\left( x \right) > 0$ hoặc $g\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in J\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$, trong đó $J$ là một khoảng nào đó chứa ${x_0}$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ được cho trong bảng sau:

Loigiaihay.com