Câu hỏi 1 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11

LG 1

Cho biến $x$ những giá trị khác 1 lập thành dãy số ${x_n},{\rm{ }}{x_n}\; \to {\rm{ }}1$ như trong bảng sau:

Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số

$f({x_1}),{\rm{ }}f({x_2}), \ldots ,{\rm{ }}f({x_n}),{\rm{ }} \ldots$

cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là $(f({x_n})).$

a) Chứng minh rằng $f\left( {{x_n}} \right) = 2{x_n} = \dfrac{{2n + 2}}{n}$

b) Tìm giới hạn của dãy số $(f({x_n})).$

Phương pháp giải:

a) Tính và rút gọn $f\left( {{x_n}} \right)$ suy ra đáp số, chú ý $x_n=\dfrac{{n + 1}}{n}$.

b) Xét giới hạn $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (f({x_n}) - 2)$ và suy ra đáp số.

Lời giải chi tiết:

a) $\displaystyle f({x_n}) = {{2{x_n}^2 - 2{x_n}} \over {{x_n} - 1}} = {{2{x_n}({x_n} - 1)} \over {{x_n} - 1}}$ $= 2{x_n}$

$\displaystyle {x_n} = {{n+1} \over {n}}$ $\displaystyle \Rightarrow f({x_n}) = 2{x_n} = 2.{{n+1} \over {n}} = {{2n+2} \over {n}}$

b) $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (f({x_n}) - 2)$ $\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({{2n+2} \over {n}} - 2) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{ 2} \over {n}}$

Ta có: $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{ 2} \over {n}} = 0$ $\displaystyle \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (f({x_n}) - 2) = 0$ $\displaystyle \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f({x_n}) = 2$

Quảng cáo

LG 2

Chứng minh rằng với dãy số bất kì ${x_n},{\rm{ }}{x_n}\; \ne {\rm{ }}1$ và ${x_n}\; \to {\rm{ }}1$, ta luôn có $\;f({x_n}) \to 2.$

(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số $\displaystyle f(x) = {{2{x^2} - 2x} \over {x - 1}}$ có giới hạn là 2 khi $x$ dần tới 1).

Phương pháp giải:

Tính $\lim f({x_n})$ dựa vào công thức có được ở phần 1a.

Lời giải chi tiết:

$\lim f({x_n}) = \lim\,2{x_n}$ $= 2\lim {x_n} = 2.1 = 2$

 Loigiaihay.com