Lý thuyết Phép tính lôgarit - Toán 11 Cánh diều

1. Khái niệm lôgarit

a) Định nghĩa

Với a > 0, a $\ne$ 1 và b > 0, ta có: $c = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^c} = b$. Ngoài ra:

- Lôgarit thập phân của b là lôgarit cơ số 10 của số thực dương b:

$c = \log b \Leftrightarrow {10^c} = b$

- Lôgarit tự nhiên của b là lôgarit cơ số e của số thực dương b:

$c = \ln b \Leftrightarrow {e^c} = b$.

b) Tính chất

Với a > 0, a $\ne$ 1 và b > 0, ta có:

${\log _a}1 = 0$; ${\log _a}a = 1$; ${\log _a}{a^c} = c$; ${a^{{{\log }_a}b}} = b$.

2. Một số tính chất của phép tính lôgarit

Trong mục này, ta xét a > 0, a $\ne$ 1 và b > 0.

a) Lôgarit của một tích, một thương

Với m > 0, n > 0, ta có:

• ${\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n$;
• ${\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n$.

Nhận xét: ${\log _a}\left( {\frac{1}{b}} \right) =  - {\log _a}b$.

b) Lôgarit của một lũy thừa

Với mọi số thực $\alpha$, ta có: ${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b$.

Nhận xét: Với mọi số nguyên dương $n \ge 2$, ta có: ${\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b$.

c) Đổi cơ số của lôgarit

Với a, b là hai số thực dương khác 1 và c là số thực dương, ta có: ${\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}$.

Nhận xét: Với a, b là hai số thực dương khác 1, c > 0 và $\alpha  \ne 0$, ta có những công thức sau:

• ${\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c$;
• ${\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$;
• ${\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b$.