Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

1. Các kiến thức cần nhớ

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức liên quan giữa các nghiệm.

Phương pháp:

Bước 1 : Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  \ge 0\end{array} \right.$. Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : $S = {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}$ và $P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}$.

Bước 2 : Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng ${x_1} + {x_2}$ và tích ${x_1}{x_2}$, sau đó áp dụng bước 1.

Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp là :

+) $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}= {S^2} - 2P$

+) $B = x_1^3 + x_2^3$

$= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)= {S^3} - 3SP$

+) $C = x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2$

$= {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}= {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2}$

+) $D = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| $

$= \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} $.

+)

$E = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}$

$= {S^2} - 4P $.

Dạng 2 : Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm

Phương pháp :

Xét phương trình bậc hai : $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$.

+) Nếu phương trình có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}.$

+ ) Nếu phương trình có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} =  - 1$, nghiệm kia là ${x_2} =  - \dfrac{c}{a}.$

+) Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình thì $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$.

Dạng 3 : Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

Phương pháp :

Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thì nó được phân tích thành nhân tử: $a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$.

Dạng 4 : Tìm hai số khi biết tổng và tích

Phương pháp :

Để tìm hai số $x,y$ khi biết tổng $S = x + y$ và tích $P = xy$, ta làm như sau:

Bước 1: Xét điều kiện ${S^2} \ge 4P$. Giải phương trình ${X^2} - SX + P = 0$ để tìm các nghiệm ${X_1},{X_2}$.

Bước 2: Khi đó các số cần tìm $x,y$ là $x = {X_1},y = {X_2}$ hoặc $x = {X_2},y = {X_1}$.

Dạng 5 : Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp :

Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Khi đó:

1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\).

2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\end{array} \right.\).

3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.\).

4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right.\).

5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ac < 0\\S < 0\end{array} \right.\).

Dạng 6 : Xác định điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  \ge 0\end{array} \right.\).

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

3. Bài tập về hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Câu 1: Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$. Khi đó

A. $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

B. $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

C. $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} =  - \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

D. $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} =  - \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

Lời giải

Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$ Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình thì

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Đáp án A.

Câu 2: Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$. Khi đó

A. Phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$

B. Phương trình có một nghiệm ${x_1} =  - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$

C. Phương trình có một nghiệm ${x_1} =  - 1$, nghiệm kia là ${x_2} =  - \dfrac{c}{a}.$

D. Phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} =  - \dfrac{c}{a}.$

Lời giải

+) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}.$

+ ) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} =  - 1$, nghiệm kia là ${x_2} =  - \dfrac{c}{a}.$

Đáp án C.

Câu 3: Cho hai số có tổng là $S$ và tích là $P$ với ${S^2} \ge 4P$. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?

A. ${X^2} - PX + S = 0$

B. ${X^2} - SX + P = 0$

C. $S{X^2} - X + P = 0$

D. ${X^2} - 2SX + P = 0$

Lời giải

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$ (ĐK: ${S^2} \ge 4P$)

Đáp án B.

Câu 4: Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$

A. $\dfrac{1}{6}$

B. $3$

C. $6$

D. $7$

Lời giải

Phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$ có $\Delta  = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.7 = 8 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$

Theo hệ thức Vi-et ta có ${x_1} + {x_2} =  - \dfrac{{ - 6}}{1} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 6$

Đáp án C.

Câu 5: Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m + 2 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.

A. $m < 2$

B. $m > 2$

C. $m = 2$

D. $m > 0$

Lời giải

Phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m + 2 = 0\)$\left( {a = 1;b =  - 2\left( {m - 1} \right);c =  - m + 2} \right)$

Nên phương trình có hai nghiệm trái dấu khi $ac < 0 \Leftrightarrow 1.\left( { - m + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 2$

Vậy $m > 2$ là giá trị cần tìm.

Đáp án C.

Câu 6: Tìm hai nghiệm của phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ sau đó phân tích đa thức $A = 18{x^2} + 23x + 5$ sau thành nhân tử.

A. ${x_1} =  - 1;{x_2} =  - \dfrac{5}{{18}};$ $A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$

B. ${x_1} =  - 1;{x_2} =  - \dfrac{5}{{18}};$ $A = \left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$

C.  ${x_1} =  - 1;{x_2} = \dfrac{5}{{18}};$ $A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x - \dfrac{5}{{18}}} \right)$

D. ${x_1} = 1;{x_2} =  - \dfrac{5}{{18}};$ $A = 18\left( {x - 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$

Lời giải

Phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ có $a - b + c = 18 - 23 + 5 = 0$ nê phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} =  - 1;{x_2} =  - \dfrac{5}{{18}}$. Khi đó $A = 18.\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$.

Đáp án A.

Câu 7: Tìm $u - v$ biết rằng $u + v = 15,uv = 36$ và $u > v$

A. $8$

B. $12$

C. $9$

D. $10$

Lời giải

Ta có $S = u + v = 15,P = uv = 36$ . Nhận thấy ${S^2} = 225 > 144 = 4P$ nên $u,v$ là hai nghiệm của phương trình

${x^2} - 15x + 36 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 12} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\\x = 3\end{array} \right.$

Vậy $u = 12;v = 3$ (vì $u > v$) nên $u - v = 12 - 3 = 9$.

Đáp án C.

Câu 8: Biết rằng phương trình \({x^2} - \left( {2a - 1} \right)x - 4a - 3 = 0\) luôn có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $a$. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào \(a\).

A. $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 5$

B. $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} =  - 5$

C. $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = 5$

D. $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} =  - 5$

Lời giải

Theo Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2a - 1\\{x_1} \cdot {x_2} =  - 4a - 3\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4a - 2\\{x_1}.{x_2} =  - 4a - 3\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} =  - 5$

Vậy hệ thức cần tìm là $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} =  - 5$.

Đáp án D.