Giải mục 7 trang 47, 48 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 7

Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s\left( t \right) = 2{t^3} + 4t + 1\), trong đó \(s\) tính bằng mét và \(t\) là thời gian tính bằng giây.

a) Tính vận tốc tức thời \(v\left( t \right)\) tại thời điểm \(t\).

b) Đạo hàm \(v'\left( t \right)\) biểu thị tốc độ thay đổi của vận tốc theo thời gian, còn gọi là gia tốc của chuyển động, kí hiệu \(a\left( t \right)\). Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 2\).

Phương pháp giải:

a) \(v\left( t \right) = s'\left( t \right)\).

b) \(a\left( 2 \right) = v'\left( 2 \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) Vận tốc tức thời \(v\left( t \right)\) tại thời điểm \(t\) là: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 6{t^2} + 4\).

b) Gia tốc \(a\left( t \right)\) của chuyển động tại thời điểm \(t\) là: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 12t\).

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 2\) là: \(a\left( 2 \right) = 12.2 = 24\).

Thực hành 8

 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) \(y = {x^2} - x\);

b) \(y = \cos x\).

Phương pháp giải:

Tính \(y'\), sau đó tính y''

Lời giải chi tiết:

a) \(y' = 2{\rm{x}} - 1\) .

\( \Rightarrow y’’ = {\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)^\prime } = 2\).

b) \(y' =  - \sin x \Rightarrow y'' = {\left( { - \sin x} \right)^\prime } =  - \cos x\).

Vận dụng

Một hòn sỏi rơi tự do có quãng đường rơi tính theo thời gian \(t\) là \(s\left( t \right) = 4,9{t^2}\), trong đó \(s\) tính bằng mét và \(t\) tính bằng giây. Tính gia tốc rơi của hòn sỏi lúc \(t = 3\).

Phương pháp giải:

\(a\left( t \right) = s’’\left( t \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(s'\left( t \right) = 4,9.2t = 9,8t;s''\left( t \right) = 9,8\)

\( \Rightarrow a\left( 3 \right) = s''\left( 3 \right) = 9,8\)

Vậy gia tốc rơi của hòn sỏi lúc \(t = 3\) là \(9,8\left( {m/{s^2}} \right)\).