Giải mục 4 trang 43, 44, 45 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều

Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF1+MF2=2a, ở đó F1F2=2c với 0<c<a.

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ 5

Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF1+MF2=2a, ở đó F1F2=2c với 0<c<a. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F1F2. Trục Oy là đường trung trực của F1F2F2 nằm trên tia Ox (Hình 8). Khi đó F1(c;0),F2(c;0) là các tiêu diểm của elip (E)

 

Giả sử điểm M(x;y) thuộc elip (E)

Chứng minh rằng:

a) MF12=x2+2cx+c2+y2

b) MF22=x22cx+c2+y2

c) MF12MF22=4cx

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: MF1=(cx;y)MF12=(cx)2+y2=x2+2cx+c2+y2

b) Ta có: MF2=(cx;y)MF22=(cx)2+y2=x22cx+c2+y2

c) MF12MF22=(x2+2cx+c2+y2)(x22cx+c2+y2)=4cx

HĐ 6

Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức MF1+MF2=2a, chứng minh:

a) MF1MF2=2cax

b) MF1=a+cax

c) MF2=acax

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: MF12MF22=(MF1MF2)(MF1+MF2)=(MF1MF2).2a=4cx

MF1MF2=2cax

b) Ta có: {MF1+MF2=2a(1)MF1MF2=2cax(2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta được: 2MF1=2a+2caxMF1=a+cax

c) Ta có: MF2=2aMF1=2a(a+cax)=acax

VD 4

Cho elip có phương trình chính tắc x225+y29=1. Giả sử M là điểm thuộc elip và có hoành độ là 2. Tìm độ dài của các bán kính qua tiêu của điểm M.

Phương pháp giải:

Cho elip (E): x2a2+y2b2=1 (0<b<a)

+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm M(x,y) trên (E) là: MF1=a+cax;MF2=acax.

Lời giải chi tiết:

Ta có c=a2b2=259=4. Do đó e=ca=45=0,8. Vậy độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M là:

MF1=a+cax=5+0,8.2=6,6;MF2=acax=50,8.2=3,4

VD 5

Cho elip có phương trình chính tắc x2a2+y2b2=1. Giả sử M(x;y) là điểm thuộc elip. Tìm  giá trị lớn nhất và bé nhất của bán kính qua tiêu MF1MF2

Phương pháp giải:

Cho elip (E): x2a2+y2b2=1 (0<b<a)

+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm M(x,y) trên (E) là: MF1=a+cax;MF2=acax.

MF1 có giá trị nhỏ nhất là ac khi x=a và có giá trị lớn nhất là a+c khi x=a

MF2 có giá trị nhỏ nhất là ac khi x=a và có giá trị lớn nhất là a+c khi x=a

Lời giải chi tiết:

axa nên a+ca(a)a+caxa+ca(a)acMF1a+c

Vậy MF1 có giá trị nhỏ nhất là ac khi x=a và có giá trị lớn nhất là a+c khi x=a

Tương tự với MF2, ta có axaaxa hay axa nên aca(a)acaxaca(a)acMF2a+c

Vậy MF2 có giá trị nhỏ nhất là ac khi x=a và có giá trị lớn nhất là a+c khi x=a

Bài 3

Cho elip (E): x29+y24=1 với tiêu điểm F2(5;0). Tìm tọa độ M(E) sao cho độ dài F2M nhỏ nhất

Phương pháp giải:

Cho elip (E): x2a2+y2b2=1 (0<b<a)

+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm M(x,y) trên (E) là: MF1=a+cax;MF2=acax.

MF1 có giá trị nhỏ nhất là ac khi x=a và có giá trị lớn nhất là a+c khi x=a

MF2 có giá trị nhỏ nhất là ac khi x=a và có giá trị lớn nhất là a+c khi x=a

Lời giải chi tiết:

Elip (E): x29+y24=1a=3,b=2c=a2b2=5

Độ dài bán kính qua tiêu MF2=acax=353x.

MF2 có độ dài nhỏ nhất là ac khi x=a nên

MF2 có độ dài nhỏ nhất là 35 khi x=3.

M(E) x29+y24=1y2=4(1x29)=4(1329)=0

Vậy M(3;0) thì MF2 có độ dài nhỏ nhất bằng 35.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

close