Giải bài 2 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé

b) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục bé bằng tiêu cự

Lời giải chi tiết

a) Ta có: Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé hay \(a = 2b \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{3}{4}{a^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tâm sai của elip là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

b) Giả sử elip có 1 đỉnh trên trục lớn là \(A\left( {a;0} \right)\left( {a > 0} \right)\) và một đỉnh trên trục bé là \(B\left( {0;b} \right)\left( {b > 0} \right)\)

Theo đề bài ta có: \(AB = 2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{{\left( {0 - a} \right)}^2} - {{\left( {b - 0} \right)}^2}}  = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}}  \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\\ \Rightarrow 3{a^2} = 5{b^2} \Rightarrow {b^2} = \frac{3}{5}{a^2} \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = {a^2} - \frac{3}{5}{a^2} = \frac{2}{5}{a^2}\\ \Rightarrow \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \frac{2}{5} \Rightarrow e = \frac{c}{a} = \sqrt {\frac{2}{5}}  = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\end{array}\)

Vậy elip có tâm sai bằng \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\)