Giải bài 4 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Cho elip (E): $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$. Tìm tọa độ điểm $M \in \left( E \right)$ sao cho độ dài ${F_2}M$ lớn nhất, biết ${F_2}$ là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E)

Lời giải chi tiết

Elip có phương trình $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow a = 5,b = 3$

Ta có: $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {25 - 9}  = 4$

Gọi tọa độ của $M(x,y)$, ta có: $M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 5 - \frac{4}{5}x$

Vì $- 5 \le x \le 5$ hay $- 5 \le  - x \le 5$ nên $5 + \frac{4}{5}\left( { - 5} \right) \le 5 + \frac{4}{5}( - x) \le 5 + \frac{4}{5}.5$$\Leftrightarrow 5 - 4 \le M{F_2} \le 5 + 4 \Leftrightarrow 1 \le M{F_2} \le 9$

$\Rightarrow M{F_2} \le 9$. Dấu bằng xảy ra khi $- x = 5$

Vậy độ dài ${F_2}M$ lớn nhất bằng 9 khi $M( - 5,0)$