Giải mục 3 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 85 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong Ví dụ 6, giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí I(21; 35; 50) đến vị trí D (5 121; 658; 0). Tìm vị trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tính: Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính R có là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng ID đi qua điểm I và nhận \(\overrightarrow {ID}  = \left( {5\;100;623; - 50} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng ID là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 21 + 5\;100t\\y = 35 + 623t\\z = 50 - 50t\end{array} \right.\) (t là tham số).

Gọi H là vị trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Khi đó, \(IH = R\)

Vì H thuộc đường thẳng ID nên \(H\left( {21 + 5\;100t;35 + 623t;50 - 50t} \right)\)

Ta có: \(IH = R \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {5100t} \right)}^2} + {{\left( {623t} \right)}^2} + {{\left( { - 50t} \right)}^2}}  = 4000 \Leftrightarrow \sqrt {26\;400\;629{t^2}}  = 4000\)

\( \Leftrightarrow t \approx  \pm 0,78\)

+ Với \(t \approx 0,78\) ta có H(3 999; 520,94; 11), \(\overrightarrow {IH}  = \left( {3\;978;485,94; - 39} \right)\). Khi đó, \(\overrightarrow {ID}  = \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ ID và IH cùng hướng, thỏa mãn H thuộc đoạn thẳng ID.

+ Với \(t \approx  - 0,78\) ta có H(-3 999; -450,94; 89), \(\overrightarrow {IH}  = \left( { - 3\;978; - 485,94;39} \right)\). Khi đó, \(\overrightarrow {ID}  =  - \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ ID và IH ngược hướng, vậy H không thuộc đoạn thẳng ID.

Vậy ví trị cuối cùng trên đoạn thẳng ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là điểm H(3 999; 520,94; 11).