Giải mục 2 trang 82, 83 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 82 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hai điểm M(x; y; z) và I(a; b; c).

a) Viết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm M và I.

b) Nêu mối liên hệ giữa x, y và z để M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính khoảng cách về hai điểm trong không gian để tính: Cho điểm \(A\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) và \(B\left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)\). Khi đó, \(AB = \sqrt {{{\left( {{b_1} - {a_1}} \right)}^2} + {{\left( {{b_2} - {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_3} - {a_3}} \right)}^2}} \).

b) Sử dụng kiến thức về vị trí của điểm so với mặt cầu để tìm bán kính của mặt cầu: Cho mặt cầu tâm I, bán kính R và điểm M bất kì trong không gian. Điểm M thuộc mặt cầu tâm I, bán kính R khi và chỉ khi \(IM = R\).

Lời giải chi tiết:

a) Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm M và I là: \(IM = \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2}} \).

b) Để M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R thì \(IM = R\) hay \(\sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2}}  = R\).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 82 SGK Toán 12 Cánh diều

Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: \({x^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tìm tâm và bán kính: Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right),\) bán kính R là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({x^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {\left[ {y - \left( { - 5} \right)} \right]^2} + {\left[ {z - \left( { - 1} \right)} \right]^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\)

Mặt cầu có tâm I(0; -5; -1) và bán kính \(R = \sqrt 2 \).

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 82 SGK Toán 12 Cánh diều

Viết phương trình của mặt cầu, biết:

a) Tâm O bán kính R với O là gốc tọa độ;

b) Đường kính AB với A(1; 2; 1), B(3; 4; 7).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để viết phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right),\) bán kính R là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

a) Mặt cầu có tâm O(0; 0; 0) bán kính R có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {R^2}\)

b) Gọi là trung điểm của AB nên I(2; 3; 4). Do đó, mặt cầu đường kính AB có tâm là I(2; 3; 4) và bán kính \(AI = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {11} \) nên có phương trình là:

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 11\).

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 83 SGK Toán 12 Cánh diều

Chứng minh rằng phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y - 4z - 11 = 0\) là phương trình của một mặt cầu. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để chứng minh: Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right),\) bán kính R là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y - 4z - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2.x.3 - 2.y.1 - 2.z.2 - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 25\).