Giải mục 2 trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Cho f(x)=2xf(x)=2x. Tính và so sánh 212f(x)dx212f(x)dx221f(x)dx221f(x)dx.

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho f(x)=2xf(x)=2x. Tính và so sánh 212f(x)dx212f(x)dx221f(x)dx221f(x)dx.

Phương pháp giải:

- Tính từng tích phân riêng biệt: 212f(x)dx212f(x)dx221f(x)dx221f(x)dx

- So sánh kết quả của hai tích phân.

Lời giải chi tiết:

Tính tích phân thứ nhất:

212f(x)dx=212(2x)dx=214xdx=[2x2]21=2(22)2(12)=82=6212f(x)dx=212(2x)dx=214xdx=[2x2]21=2(22)2(12)=82=6

Tính tích phân thứ hai:

221f(x)dx=2212xdx=2×[x2]21=2×(2212)=2×(41)=2×3=6221f(x)dx=2212xdx=2×[x2]21=2×(2212)=2×(41)=2×3=6

So sánh:

212f(x)dx=6212f(x)dx=6221f(x)dx=6221f(x)dx=6

Vậy, hai tích phân này bằng nhau.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho 413xdx=14413xdx=14. Tính 41xdx41xdx.

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất của tích phân xác định để đơn giản hóa biểu thức. Chúng ta biết rằng:

413xdx=341xdx413xdx=341xdx

- Sử dụng giá trị đã cho 413xdx=14413xdx=14 để thiết lập phương trình và giải để tìm giá trị của 41xdx41xdx.

Lời giải chi tiết:

Từ tính chất của tích phân xác định, ta có:

413xdx=341xdx413xdx=341xdx

Theo đề bài, ta biết rằng:

341xdx=14341xdx=14

Chia cả hai vế của phương trình cho 3:

41xdx=14341xdx=143

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho f(x)=2xf(x)=2x, g(x)=5g(x)=5. Tính và so sánh:

a) 21[f(x)+g(x)]dx21[f(x)+g(x)]dx21f(x)dx+21g(x)dx21f(x)dx+21g(x)dx.

b) 21[f(x)g(x)]dx21[f(x)g(x)]dx

21f(x)dx21g(x)dx21f(x)dx21g(x)dx.

Phương pháp giải:

- Tính từng tích phân riêng biệt bằng cách tìm nguyên hàm của f(x)f(x)g(x)g(x) trên đoạn [1;2][1;2].

- Áp dụng tính chất của tích phân để so sánh kết quả của các biểu thức.

Lời giải chi tiết:

a) Tính tích phân:

21[f(x)+g(x)]dx=21[2x+5]dx21[f(x)+g(x)]dx=21[2x+5]dx

Nguyên hàm của 2x+52x+5x2+5x+Cx2+5x+C:

21[2x+5]dx=[x2+5x]21=[4+10][1+5]=146=821[2x+5]dx=[x2+5x]21=[4+10][1+5]=146=8

Tính tích phân từng hàm riêng:

21f(x)dx=212xdx=[x2]21=41=3

21g(x)dx=215dx=[5x]21=105=5

So sánh:

21[f(x)+g(x)]dx=8

21f(x)dx+21g(x)dx=3+5=8           

Vậy 21[f(x)+g(x)]dx=21f(x)dx+21g(x)dx.

b) Tương tự, tính tích phân trong phần b):

21[f(x)g(x)]dx=21[2x5]dx=[x25x]21=[410][15]=6+4=2

So sánh:

21f(x)dx21g(x)dx=35=2

Vậy 21[f(x)g(x)]dx=21f(x)dx21g(x)dx.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính

a) 21(4x31x2)dx;

b) 10(52ex)dx.

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản:

xndx=xn+1n+1+C,n1

1xndx=xn+1n+1+C,n1

exdx=ex+C

adx=ax+C

- Áp dụng tính chất số 2 của tích phân để tính.

Lời giải chi tiết:

a)

Tìm nguyên hàm của 4x31x2:

4x3dx=4x44=x4

1x2dx=x2dx=x11=1x

Vậy nguyên hàm của hàm số 4x31x2 là:

F(x)=x4+1x

21(4x31x2)dx=[x4+1x]21=(24+12)(14+11)

24=16,12=0.5,14=1,11=1

21(4x31x2)dx=(16+0.5)(1+1)=16.52=14.5

b)

Tính nguyên hàm của 5 và 2ex:

5dx=5x

2exdx=2ex

Vậy nguyên hàm của hàm số 52ex là:

F(x)=5x2ex

Tính giá trị của tích phân tại cận từ 0 đến 1:

10(52ex)dx=[5x2ex]10=(512e1)(502e0)

51=5,e1=e,50=0,e0=1

10(52ex)dx=(52e)(02)=52e+2=72e.

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 16 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho f(x)=2x. Tính và so sánh 21f(x)dx+32f(x)dx31f(x)dx.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính tích phân của hàm số cơ bản để tính các tích phân riêng lẻ, sau đó cộng lại và so sánh với tích phân từ cận nhỏ nhất đến cận lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Tính nguyên hàm của f(x)=2x:

F(x)=2xdx=x2

Tính các tích phân:        

212xdx=[x2]21=2212=41=3

322xdx=[x2]23=(3)222=94=5

312xdx=[x2]31=3212=91=8

So sánh:

212xdx+322xdx=3+5=8

21f(x)dx+32f(x)dx=8

31f(x)dx=8

Do đó, hai tích phân này bằng nhau.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 17 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1;5]51[2x3f(x)]dx=12. Tính 51f(x)dx.

b) Cho f(x)={x3+2khix>12x+3khix1. Tính 12f(x)dx.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất của tích phân và giả thiết đã cho, ta tách tích phân 51[2x3f(x)]dx thành hai phần: 512xdx351f(x)dx. Sau đó, chúng ta tính từng tích phân riêng lẻ và giải phương trình để tìm 51f(x)dx.

b) Đối với bài này, ta chia tích phân 12f(x)dx thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm f(x). Tính tích phân riêng trên từng đoạn sau đó cộng kết quả lại.

Lời giải chi tiết:

a) Sử dụng giả thiết51[2x3f(x)]dx=12:

51[2x3f(x)]dx=512xdx+351f(x)dx=12

Tính 512xdx:

512xdx=x2|51=52(1)2=251=24

Thay vào phương trình:

24351f(x)dx=12

351f(x)dx=12

51f(x)dx=4

b) Chia tích phân thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm f(x):

12f(x)dx=12f(x)dx+11f(x)dx

Tính 12(2x+3)dx:

12(2x+3)dx=(x2+3x)|12=[(1)2+3(1)][(2)2+3(2)]=2+2=0

Tính 11(x3+2)dx:

11(x3+2)dx=(x44+2x)|11=[14+2][142]=4

Vậy 12f(x)dx=0+4=4.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 18 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Hình 4.7 là đồ thị vận tốc v(t) của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động).

a) Viết công thức của hàm số v(t) với t[0;6].

b) Tính quãng đường vật di chuyển được trong 6 giây đầu tiên.

Phương pháp giải:

a) Dựa trên đồ thị, ta xác định công thức của hàm số v(t) theo từng đoạn thời gian khác nhau.

b) Để tính quãng đường di chuyển, ta tính diện tích dưới đường cong của đồ thị vận tốc trong khoảng thời gian đã cho.

Lời giải chi tiết:

a) Hàm số v(t) được chia thành hai đoạn dựa trên đồ thị:

v(t)={32tkhi0t23khi2<t6

b) Quãng đường vật di chuyển được trong 6 giây đầu tiên là diện tích dưới đồ thị của hàm v(t) từ 0 đến 6:

S=2032tdt+623dt

Tính 2032tdt:

2032tdt=34t2|20=34(22)=3

Tính 623dt:

623dt=3t|62=3(62)=12

Vậy tổng quãng đường là:

S=3+12=15m.

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

close