Giải mục 3 trang 18, 19 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 18 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính

a) \(\int_1^9 {\frac{{2\sqrt x  - {x^2}}}{{{x^3}}}} dx\);

b) \(\int_{ - 1}^1 {{e^{x + 2}}} dx\);

c) \(\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3 + 2{{\cot }^2}x} \right)} dx\).

Phương pháp giải:

a) Phân tách biểu thức trong tích phân thành các phần tử đơn giản hơn rồi sử dụng các công thức cơ bản để tính tích phân.

b) Đối với tích phân này, ta có thể khai triển biểu thức \({e^{x + 2}}\) thành \({e^x}.{e^2}\) sau đó sử dụng các công thức cơ bản để tính tích phân

c) Đối với tích phân của hàm chứa hàm lượng giác, đặc biệt là hàm \({\cot ^2}x\), sử dụng công thức lượng giác liên quan để đơn giản hóa và tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

a)

\(\int_1^9 {\frac{{2\sqrt x  - {x^2}}}{{{x^3}}}} dx = \int_1^9 {\left( {\frac{{2\sqrt x }}{{{x^3}}} - \frac{{{x^2}}}{{{x^3}}}} \right)} dx = \int_1^9 {\left( {\frac{2}{{{x^{5/2}}}} - \frac{1}{x}} \right)} dx\)

Tính từng phần:

\(\int_1^9 {\frac{2}{{{x^{5/2}}}}} dx = \left. { - \frac{4}{{3{x^{3/2}}}}} \right|_1^9 =  - \frac{4}{{{{3.9}^{3/2}}}} + \frac{4}{{{{3.1}^{3/2}}}} =  - \frac{4}{{81}} + \frac{4}{3} = \frac{{108 - 4}}{{81}} = \frac{{104}}{{81}}\)

\(\int_1^9 {\frac{1}{x}} dx = \left. {\ln x} \right|_1^9 = \ln 9 - \ln 1 = \ln 9\)

Vậy:

\(\int_1^9 {\frac{{2\sqrt x  - {x^2}}}{{{x^3}}}} dx = \frac{{104}}{{81}} - \ln 9\)

b)

Ta có:

\(I = \int_{ - 1}^1 {{e^{x + 2}}} {\mkern 1mu} dx = \int_{ - 1}^1 {{e^x}}  \cdot {e^2}{\mkern 1mu} dx = {e^2}\int_{ - 1}^1 {{e^x}} {\mkern 1mu} dx = {e^2}\left( {\left. {{e^x}} \right|_{ - 1}^1} \right) = {e^2}\left( {{e^1} - {e^{ - 1}}} \right)\)                                          

Mà:

\(I = {e^2}\left( {e - \frac{1}{e}} \right) = {e^2}\left( {\frac{{{e^2} - 1}}{e}} \right)\)

Vậy:

                                        \(I = \frac{{{e^4} - {e^2}}}{e}\)

c)

\(\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3 + 2{{\cot }^2}x} \right)} dx = \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} 3 {\mkern 1mu} dx + 2\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cot }^2}} x{\mkern 1mu} dx\)

Tính phần đầu:

\(\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} 3 {\mkern 1mu} dx = 3\left. x \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} = 3\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 3 \cdot \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4}\)

Đối với phần chứa \({\cot ^2}x\):

\(\int {{{\cot }^2}} x{\mkern 1mu} dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right)} {\mkern 1mu} dx =  - \cot x - x\)

Vậy:

\(\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cot }^2}} x{\mkern 1mu} dx = \left. {\left( { - \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} = \left( { - 0 - \frac{\pi }{2}} \right) - \left( { - 1 - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{\pi }{4} + 1\)

Vậy tích phân cần tìm là:

\(\frac{{3\pi }}{4} + 2\left( { - \frac{\pi }{4} + 1} \right) = \frac{{3\pi }}{4} - \frac{\pi }{2} + 2 = \frac{\pi }{4} + 2\)

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 19 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính

a) \(\int_0^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx} \);

b) \(\int_{ - 3}^2 {\left| {1 - {x^2}} \right|dx} \).

Phương pháp giải:

Để tính các tích phân có dấu giá trị tuyệt đối, phương pháp tổng quát là:

- Xác định điểm mà hàm số bên trong giá trị tuyệt đối đổi dấu, tức là tìm những điểm mà hàm số bên trong giá trị tuyệt đối bằng 0.

- Chia khoảng tích phân thành các đoạn con, sao cho trên mỗi đoạn, giá trị tuyệt đối có thể được bỏ đi (bằng cách thay thế bằng chính hàm số hoặc lấy ngược dấu hàm số).

- Tính tích phân trên từng đoạn, với biểu thức đã bỏ giá trị tuyệt đối, sau đó cộng các tích phân này lại.

Lời giải chi tiết:

a)

Tìm điểm đổi dấu của hàm số:

\(\cos x = 0{\rm{ khi }}x = \frac{\pi }{2}.\)

Trên đoạn \([0,\frac{\pi }{2}]\), \(\cos x > 0\), và trên đoạn \([\frac{\pi }{2},\pi ]\), \(\cos x < 0\).

Chia khoảng tích phân:

\(\int_0^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx}  = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx}  + \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi  { - \cos xdx} .\)

Tính từng tích phân:

\({I_1} = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx}  = \sin x|_0^{^{\frac{\pi }{2}}} = \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1,\)

\({I_2} = \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi  { - \cos xdx}  =  - \sin x|_{\frac{\pi }{2}}^\pi  =  - (\sin \pi  - \sin \frac{\pi }{2}) =  - (0 - 1) = 1.\)

Kết luận:

\(\int_0^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx}  = {I_1} + {I_2} = 1 + 1 = 2.\)

b)

Tìm điểm đổi dấu của hàm số:

\(1 - {x^2} = 0{\rm{ khi }}x =  \pm 1.\)

Hàm số \(1 - {x^2}\) dương khi \(x \in ( - 1,1)\) và âm khi \(x \in ( - 3, - 1]\) và \(x \in [1,2]\).

Chia khoảng tích phân:

\(\int_{ - 3}^2 {\left| {1 - {x^2}} \right|} dx = \int_{ - 3}^{ - 1} {({x^2} - 1)} dx + \int_{ - 1}^1 {(1 - {x^2})} dx + \int_1^2 {({x^2} - 1)} dx.\)

Tích phân trên đoạn \([ - 3, - 1]\):

\({I_1} = \int_{ - 3}^{ - 1} {({x^2} - 1)} dx = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - x} \right)|_{ - 3}^{ - 1} = \left( {\frac{{{{( - 1)}^3}}}{3} - ( - 1)} \right) - \left( {\frac{{{{( - 3)}^3}}}{3} - ( - 3)} \right)\)

\( = \left( { - \frac{1}{3} + 1} \right) - \left( { - 9 + 3} \right) = \frac{2}{3} - ( - 6) = \frac{2}{3} + 6 = \frac{{20}}{3}.\)

Tích phân trên đoạn \([ - 1,1]\):

\({I_2} = \int_{ - 1}^1 {(1 - {x^2})} ,dx = \left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)|_{ - 1}^1 = \left( {1 - \frac{1}{3}} \right) - \left( { - 1 + \frac{1}{3}} \right)\)

\( = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.\)

Tích phân trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\):

\({I_3} = \int_1^2 {({x^2} - 1)} ,dx = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - x} \right)|_1^2 = \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - 2} \right) - \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - 1} \right)\)

\( = \left( {\frac{8}{3} - 2} \right) - \left( {\frac{1}{3} - 1} \right) = \left( {\frac{8}{3} - \frac{6}{3}} \right) - \left( {\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} \right)\)

\( = \frac{2}{3} - ( - \frac{2}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.\)

Kết luận:

\(\int_{ - 3}^2 {\left| {1 - {x^2}} \right|} dx = {I_1} + {I_2} + {I_3} = \frac{{20}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{{28}}{3}.\)