Giải bài tập 4.13 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) \(\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx\);

b) \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx\);

c) \(\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx\);

d) \(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx\);

e) \(\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx\);

g) \(\int_1^4 | 5 - 3x|dx\).

Lời giải chi tiết

a)

\(\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx = \int_{ - 1}^2 {({x^2} + x)} dx = \int_{ - 1}^2 {{x^2}} dx + \int_{ - 1}^2 x dx\)

Tính từng phần:

\(\int_{ - 1}^2 {{x^2}} dx = \frac{{{x^3}}}{3}|_{ - 1}^2 = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{{{{( - 1)}^3}}}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3,\)

\(\int_{ - 1}^2 x dx = \frac{{{x^2}}}{2}|_{ - 1}^2 = \frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{{( - 1)}^2}}}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.\)

Kết quả:

\(\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}.\)

b)

Sử dụng công thức hạ bậc:

\({\cos ^2}\frac{x}{2} = \frac{{1 + \cos x}}{2}.\)

Tính tích phân:

\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 + \cos x)} dx = \frac{1}{2}\left( {\int_0^{\frac{\pi }{2}} 1 dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx} \right).\)

Tính từng phần:

\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} 1 dx = \frac{\pi }{2},\quad \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx = \sin x|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1 - 0 = 1.\)

Kết quả:

\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right) = \frac{{\pi  + 2}}{4}.\)

c)

Sử dụng công thức tích phân của hàm mũ:

\(\int {{a^{bx}}} dx = \frac{{{a^{bx}}}}{{b\ln a}}.\)

Tính tích phân:

\(\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx = \int_1^2 2  \cdot {2^{ - 3x}}dx = 2\int_1^2 {{2^{ - 3x}}} dx.\)

Áp dụng công thức:

\(2\int {{2^{ - 3x}}} dx = 2 \cdot \frac{{{2^{ - 3x}}}}{{ - 3\ln 2}} =  - \frac{{{2^{ - 3x + 1}}}}{{3\ln 2}}.\)

Thay cận:

\( - \frac{{{2^{ - 3x + 1}}}}{{3\ln 2}}|_1^2 =  - \frac{{{2^{ - 5}}}}{{3\ln 2}} + \frac{{{2^{ - 2}}}}{{3\ln 2}} = \frac{1}{{3\ln 2}}\left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{32}}} \right) = \frac{1}{{3\ln 2}} \cdot \frac{7}{{32}}.\)

Kết quả:

\(\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx = \frac{7}{{96\ln 2}}.\)

d)

Sử dụng công thức: 

\({\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1.\)

Tính tích phân:

\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1)} dx = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx - \int_0^{\frac{\pi }{4}} 1 dx.\)

Tính từng phần:

\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1 - 0 = 1,\)

\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} 1 dx = \frac{\pi }{4}.\)

Kết quả:

\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx = 1 - \frac{\pi }{4}.\)

e)

Chia thành hai tích phân:

\(\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx = \int_1^4 {{e^{2x + 1}}} dx - 3\int_1^4 x \sqrt x dx.\)

Tính từng phần:

- Với \({e^{2x + 1}}\), đặt \(u = 2x + 1\), \(du = 2dx\), ta có:

\(\int {{e^{2x + 1}}} dx = \frac{1}{2}\int {{e^u}du = \frac{{{e^u}}}{2}}  = \frac{{{e^{2x + 1}}}}{2}.\)

Thay cận:

\(\frac{{{e^{2x + 1}}}}{2}|_1^4 = \frac{{{e^9}}}{2} - \frac{{{e^3}}}{2}.\)

- Với \(x\sqrt x  = {x^{3/2}}\), ta có:

\(\int {{x^{3/2}}} dx = \frac{2}{5}{x^{5/2}}.\)

Thay cận:

\(\frac{2}{5}{x^{5/2}}|_1^4 = \frac{2}{5}(32 - 1) = \frac{{62}}{5}.\)

Kết quả:

\(\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx = \frac{{{e^9} - {e^3}}}{2} - \frac{{186}}{5}.\)

g)

Tìm điểm đổi dấu:

\(5 - 3x = 0\quad {\rm{khi}}\quad x = \frac{5}{3}.\)

Chia khoảng tích phân:

\(\int_1^4 | 5 - 3x|dx = \int_1^{\frac{5}{3}} {(5 - 3x)} dx + \int_{\frac{5}{3}}^4 {(3x - 5)} dx.\)

Tính tích phân trên đoạn \([1,\frac{5}{3}]\):

\(\int_1^{\frac{5}{3}} {(5 - 3x)} dx = 5x - \frac{{3{x^2}}}{2}|_1^{\frac{5}{3}} = \frac{{25}}{3} - \frac{{25}}{6} - \left( {5 - \frac{3}{2}} \right) = \frac{2}{3}.\)

Tính tích phân trên đoạn \([\frac{5}{3},4]\):

\(\int_{\frac{5}{3}}^4 {(3x - 5)} dx = \frac{{3{x^2}}}{2} - 5x|_{\frac{5}{3}}^4 = 4 - \left( { - \frac{{25}}{6}} \right) = \frac{{49}}{6}.\)

Kết quả cuối cùng:

\(\int_1^4 | 5 - 3x|dx = \frac{2}{3} + \frac{{49}}{6} = \frac{{53}}{6}.\)