Giải mục 2 trang 100, 101 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 100 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Xét lại tình huống trong Hoạt động 1.

Ta đã biết P(AB) có thể được tính bằng hai cách:

\(P\left( {AB} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)\) hoặc \(P\left( {AB} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\)

Hãy tính\(P\left( {B|A} \right)\). Xác suất vừa tính được cho ta biết điều gì?

Phương pháp giải:

Từ công thức trên, suy ra: \(P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}}\).

Sử dụng các kết quả đã tính ở Hoạt động 1 để thay số và tính toán.

Lời giải chi tiết:

* Dựa vào bài toán trong Hoạt động 1, ta có các xác suất đã biết:

\(P(A) = 0,026\), \(P(AB) = 0,008\)

* Áp dụng công thức xác suất có điều kiện: \(P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}}\)

Thay vào công thức:

\(P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \frac{{0,008}}{{0,026}} \approx 0,308\)

Từ kết quả \(P(B|A) = 0,308\) cho biết rằng nếu đã biết áo bị lỗi (biến cố A), thì xác suất áo đó thuộc phân xưởng I (biến cố B) là \(30,8\% \)

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 100 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong Ví dụ 2, giả sử viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ, tính xác suất viên bi đỏ đó là của hộp thứ nhất.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức Bayes: \(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(A)}}\).

Lời giải chi tiết:

* Từ Ví dụ 2, ta có các xác suất đã biết:

\(P(A) = \frac{{13}}{{22}}\) (Xác suất để viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ).

\(P(C) = \frac{1}{{11}}\) (Xác suất để viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi của hộp thứ nhất).

\(P(A|C) = \frac{1}{2}\) (Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ của hộp thứ nhất).

* Xác suất để viên bi đó là của hộp thứ nhất khi biết rằng biên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ là:

\(P(C|A) = \frac{{P(C).P(A|C)}}{{P(A)}} = \frac{{\frac{1}{{11}}.\frac{1}{2}}}{{\frac{{13}}{{22}}}} = \frac{1}{{13}}\).

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 101 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một nghiên cứu đã chỉ ra rằng tỉ lệ người bị lao phổi trong nhóm X những người mắc phải hội chứng suy giảm miễn dịch H là 15,2%. Kết quả nghiên cứu về một số triệu chứng lâm sàng như có ho trong vòng bốn tuần, hoặc có bị sốt trong vòng bốn tuần, hoặc ra mồ hôi ban đêm từ ba tuần trở lên của nhóm X cho thấy:

- Trong số những người mắc bệnh lao phổi, có 93,2% trường hợp có ít nhất một triệu chứng;

- Trong số những người không mắc bệnh lao phổi, có 35,8% trường hợp không có triệu chứng nào.

(Nguồn: https://timmachhoc.vn/din-gii-kt-qu-nghien-cu-bng-nh-li-bayes/)

Nếu bác sĩ gặp một bệnh nhân thuộc nhóm X và bệnh nhân đó có ít nhất một triệu chứng trên thì xác suất bệnh nhân này mắc bệnh lao phổi là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Áp dụng hai công thức sau:

Công thức xác suất toàn phần: \(P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\bar A) \cdot P(\bar A)\).

Công thức Bayes: \(P(A|B) = \frac{{P(B|A) \cdot P(A)}}{{P(B)}}\).

Trong đó:

\(A\): Biến cố người bệnh mắc lao phổi.

\(\bar A\): Biến cố người bệnh không mắc lao phổi.

\(B\): Biến cố người bệnh có ít nhất một triệu chứng.

Lời giải chi tiết:

Xác suất mắc bệnh lao phổi: \(P(A) = 15,2\%  = 0,152\)

Xác suất không mắc bệnh lao phổi: \(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,152 = 0,848\)

Trong số những người mắc bệnh lao phổi, có 93,2% có ít nhất một triệu chứng:

\(P(B|A) = 93,2\%  = 0,932\)

Trong số những người không mắc bệnh lao phổi, có 35,8% không có triệu chứng nào, tức là 64,2% có ít nhất một triệu chứng:

\(P(B|\bar A) = 64,2\%  = 0,642\)

Sử dụng công thức xác suất toàn phần: \(P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\bar A) \cdot P(\bar A)\)

\(P(B) = (0,932 \cdot 0,152) + (0,642 \cdot 0,848)\)

\(P(B) = 0,141664 + 0,544416 = 0,68608\)

Áp dụng công thức Bayes: \(P(A|B) = \frac{{P(B|A) \cdot P(A)}}{{P(B)}}\)

\(P(A|B) = \frac{{0,932 \cdot 0,152}}{{0,68608}}\)

\(P(A|B) = \frac{{0,141664}}{{0,68608}} \approx 0,2065\)

Xác suất để bệnh nhân mắc bệnh lao phổi khi có ít nhất một triệu chứng là: 20,65%