Giải bài tập 5.41 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một sân hình chữ nhật ABCD có chiều dài AD = 20 m, chiều rộng AB = 15 m. Người ta đặt một camera ở độ cao 5 m trên một cây cột vuông góc với mặt sân tại A, biết camera có bán kính quan sát là 25 m. Xét hệ trục toạ độ Oxyz với gốc toạ độ O trùng với điểm A chân cột, các tia Ox, Oy lần lượt chứa các cạnh AB, AD của sân và tia Oz chứa cây cột.

a) Viết phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng quan sát được.

b) Hỏi camera có thể quan sát toàn bộ sân hay không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a) Viết phương trình mặt cầu mô tả vùng quan sát

- Các điểm của sân: \(A(0;0;0)\), \(B(15;0;0)\), \(D(0;20;0)\), \(C(15;20;0)\)

- Camera đặt tại điểm \(I(0,0,5)\), độ cao \(z = 5\) m trên mặt sân tại điểm A.

- Bán kính quan sát của camera là \(R = 25\) m.

Lập phương trình mặt cầu:

- Sử dụng công thức phương trình mặt cầu với tâm \(I(0,0,5)\) và bán kính \(R = 25\):

\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} + {(z - 5)^2} = {25^2}\)

\({x^2} + {y^2} + {(z - 5)^2} = 625\)

- Đây là phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng quan sát của camera.

b) Kiểm tra khả năng quan sát toàn bộ sân

* Tính khoảng cách từ các đỉnh của sân đến camera:

- Khoảng cách từ I đến A:

\(IA = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(5 - 0)}^2}}  = 5{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

- Khoảng cách từ I đến B:

\(IB = \sqrt {{{(15 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 5)}^2}}  = \sqrt {225 + 25}  = \sqrt {250}  \approx 15.81{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

- Khoảng cách từ I đến D:

\(ID = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(20 - 0)}^2} + {{(0 - 5)}^2}}  = \sqrt {400 + 25}  = \sqrt {425}  \approx 20.62{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

- Khoảng cách từ I đến C:

\(IC = \sqrt {{{(15 - 0)}^2} + {{(20 - 0)}^2} + {{(0 - 5)}^2}}  = \sqrt {225 + 400 + 25}  = \sqrt {650}  \approx 25.5{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

- Camera có thể quan sát được toàn bộ sân nếu tất cả các đỉnh đều nằm trong bán kính quan sát. Ta thấy rằng khoảng cách \(IC \approx 25.5{\mkern 1mu} {\rm{m}} > 25{\mkern 1mu} {\rm{m}}\). Do đó, điểm C nằm ngoài phạm vi quan sát của camera.