Giải bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1, với A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A’(0; 0; 1).

a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\).

b) Chứng minh \((AB'D')//(C'BD)\)và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((C'BD)\).

c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\).

Lời giải chi tiết

Các đỉnh còn lại có toạ độ là: \(C(1;1;0)\), \(B'(0;1;1)\), \(C'(1;1;1)\), \(D'(1;0;1)\)

a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\)

Véc-tơ pháp tuyến của \((AB'D')\):

\(\overrightarrow {AB'}  = (0;1;1),\quad \overrightarrow {AD'}  = (1;0;1)\)

\({\vec n_{(AB'D')}} = \overrightarrow {AB'}  \times \overrightarrow {AD'}  = (1;1; - 1)\)

Mà ta có: \(\overrightarrow {A'C}  = (1;1; - 1)\)trùng với vec-tơ pháp tuyến của \((AB'D')\)

Vậy \(A'C \bot (AB'D')\).

b) Chứng minh \((AB'D')\parallel (C'BD)\) và tính khoảng cách

Véc-tơ pháp tuyến của \((C'BD)\):

\(\overrightarrow {C'B}  = ( - 1;0; - 1),\quad \overrightarrow {C'D}  = (0; - 1; - 1)\)

\({\vec n_{(C'BD)}} = \overrightarrow {C'B}  \times \overrightarrow {C'D}  = ( - 1; - 1;1)\)

Hai véc-tơ pháp tuyến \({\vec n_{(AB'D')}}\) và \({\vec n_{(C'BD)}}\) cùng phương nên \((AB'D')\parallel (C'BD)\).

* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng:

Chọn điểm \(A(0,0,0)\) thuộc \((AB'D')\).

Phương trình \((C'BD)\): \(1.(x - 0) - 1.(y - 1) - (z - 0) = 0 \Leftrightarrow x - y - z + 1 = 0\).

\(d = \frac{{|0 \cdot 1 - 0 \cdot 1 - 0 \cdot ( - 1) + 1|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

c) Tính \(\cos \theta \) giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\)

- Véc-tơ pháp tuyến của \((DA'C')\):

\(\overrightarrow {DA'}  = ( - 1;0;1),\quad \overrightarrow {DC'}  = (0;1;1)\)

\({\vec n_{(DA'C')}} = \overrightarrow {DA'}  \times \overrightarrow {DC'}  = ( - 1;1; - 1)\)

Véc-tơ pháp tuyến của \((ABB'A')\):

\(\overrightarrow {AB}  = (0,1,0),\quad \overrightarrow {AA'}  = (0,0,1)\)

\({\vec n_{(ABB'A')}} = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AA'}  = (1,0,0)\)

Tính \(\cos \theta \):

\({\vec n_{(DA'C')}} \cdot {\vec n_{(ABB'A')}} = ( - 1;1; - 1) \cdot (1;0;0) =  - 1\)

\(\cos \theta  = \frac{{| - 1|}}{{\sqrt 3  \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)