Giải bài tập 5.42 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một tháp phát sóng cao 50 m đặt ở góc A của sân hình chữ nhật ABCD. Để giữ cho tháp không bị đổ, người ta có cột rất nhiều dây cáp quanh tháp và cố định tại các vị trí trên mặt đất. Hai chú kiến vàng và kiến đen bắt đầu leo lên hai dây cáp CM và BN (từ C và B) với vận tốc lần lượt là 3 m/phút và 2,5 m/phút. Hỏi sau 10 phút thì hai chú kiến cách nhau bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải chi tiết

* Đặt gốc toạ độ tại A, trục Ox chứa cạnh AB, trục Oy chứa cạnh AD và trục Oz chứa cạnh AM

- Toạ độ các điểm là: \(A(0;0;0)\), \(B(8;0;0)\), \(D(0;12;0)\), \(C(8;12;0)\), \(M(0;0;46)\), \(N(0;0;40)\).

* Tính chiều dài của dây cáp CM và BN:

- Dây cáp \(\overrightarrow {CM} ( - 8; - 12;46)\): \(CM = \sqrt {{{(0 - 8)}^2} + {{(0 - 12)}^2} + {{(46 - 0)}^2}}  = 2\sqrt {581}  \approx 48,2{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

- Dây cáp \(\overrightarrow {BN} ( - 8;0;40)\): \(BN = \sqrt {{{(0 - 8)}^2} + {{(40 - 0)}^2}}  = 8\sqrt {26}  \approx 40,8{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

* Tính quãng đường hai chú kiến leo lên sau 10 phút:

- Quãng đường chú kiến vàng leo lên dây CM: \({S_{CM}} = 3 \times 10 = 30{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

- Quãng đường chú kiến đen leo lên dây BN: \({S_{BN}} = 2.5 \times 10 = 25{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

* Xác định vị trí của hai chú kiến trên các dây cáp CM và BN sau 10 phút:

- Tỉ lệ vị trí của chú kiến vàng trên dây CM: \(\frac{{{S_{CM}}}}{{CM}} = \frac{{30}}{{48,2}} \approx 0,62\)

- Tọa độ của chú kiến vàng sau 10 phút là:

\(({x_{M'}},{y_{M'}},{z_{M'}}) = 0.62 \times \overrightarrow {CM}  + C = (0,62 \times ( - 8);0,62 \times ( - 12);0,62 \times 46) + (8;12;0) \approx (3,04;4,56;28,52)\)

- Tỉ lệ vị trí của chú kiến đen trên dây BN: \(\frac{{{S_{BN}}}}{{BN}} = \frac{{25}}{{40,8}} \approx 0,61\)

- Tọa độ của chú kiến đen sau 10 phút là:

\(({x_{N'}},{y_{N'}},{z_{N'}}) = 0,61 \times \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow B  = (0,61 \times ( - 8);0;0,61 \times 40) + (8;0;0) \approx (3,12;0;24,4)\)

* Tính khoảng cách giữa hai chú kiến Khoảng cách giữa hai chú kiến là:

\(d = \sqrt {{{({x_{M'}} - {x_{N'}})}^2} + {{({y_{M'}} - {y_{N'}})}^2} + {{({z_{M'}} - {z_{N'}})}^2}} \)

Thay các giá trị vào:

\(d = \sqrt {{{(3,04 - 3,12)}^2} + {{(4,56 - 0)}^2} + {{(28,52 - 24,4)}^2}}  \approx 6,15\)

Vậy sau 10 phút, khoảng cách giữa hai chú kiến là khoảng 6,15 m (làm tròn đến hàng phần trăm).