Giải bài tập 5.32 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây:

a) Có tâm \(I( - 4;0;5)\) và bán kính \(r = \sqrt 6 \);

b) Đi qua điểm \(A(5; - 2; - 1)\) và có tâm \(C(2;1;5)\);

c) Có đường kính AB với \(A( - 4;3;7)\) và \(B(2;1; - 3)\).

Lời giải chi tiết

a) Tâm \(I( - 4;0;5)\) và bán kính \(r = \sqrt 6 \). Phương trình mặt cầu là:

\({(x + 4)^2} + {y^2} + {(z - 5)^2} = 6\)

b) Đi qua điểm \(A(5; - 2; - 1)\) và có tâm \(C(2;1;5)\). - Tính bán kính \(R = CA\):

\(R = \sqrt {{{(5 - 2)}^2} + {{( - 2 - 1)}^2} + {{( - 1 - 5)}^2}}  = \sqrt {{3^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 6)}^2}}  = \sqrt {9 + 9 + 36}  = \sqrt {54}  = 3\sqrt 6 \)

- Phương trình mặt cầu là:

\({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 5)^2} = 54\)

c) Có đường kính AB với \(A( - 4;3;7)\) và \(B(2;1; - 3)\).

- Tọa độ tâm \(I\) là trung điểm của AB:

\(I = \left( {\frac{{ - 4 + 2}}{2},\frac{{3 + 1}}{2},\frac{{7 - 3}}{2}} \right) = ( - 1,2,2)\)

- Bán kính \(R = \frac{1}{2}AB\):

\(AB = \sqrt {{{(2 + 4)}^2} + {{(1 - 3)}^2} + {{( - 3 - 7)}^2}}  = \sqrt {{6^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 10)}^2}}  = \sqrt {36 + 4 + 100}  = \sqrt {140}  = 2\sqrt {35} \)

\(R = \frac{{2\sqrt {35} }}{2} = \sqrt {35} \)

- Phương trình mặt cầu là:

\({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 2)^2} = 35\)