Giải bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 1\)

b) \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 4\)

c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\)

d) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)

Lời giải chi tiết

a) \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 1\)

Từ phương trình, ta có:

- Tâm \(I(0,3, - 2)\)

- Bán kính \(R = \sqrt 1  = 1\)

b) \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 4\)

Từ phương trình, ta có:

- Tâm \(I(2,3,0)\)

- Bán kính \(R = \sqrt 4  = 2\)

c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\)

Ta có: \(({x^2} - 8x) + ({y^2} - 2y) + {z^2} =  - 1\)

- \(x\): \({x^2} - 8x = {(x - 4)^2} - 16\)

- \(y\): \({y^2} - 2y = {(y - 1)^2} - 1\)

- Phương trình trở thành:

\({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 16 + 1 - 1 = 16\)

- Tâm \(I(4,1,0)\)

- Bán kính \(R = \sqrt {16}  = 4\)

d) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)

Chia cả hai vế cho 3: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + \frac{8}{3}y + 5z = 1\)

- \(x\): \({x^2} - 2x = {(x - 1)^2} - 1\)

-\(y\): \({y^2} + \frac{8}{3}y = {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} - \frac{{16}}{9}\)

- \(z\): \({z^2} + 5z = {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{4}\)

- Phương trình trở thành:

\({(x - 1)^2} + {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} = 1 + 1 + \frac{{16}}{9} + \frac{{25}}{4} = \frac{{79}}{{36}}\)

- Tâm \(I\left( {1, - \frac{4}{3}, - \frac{5}{2}} \right)\)

- Bán kính \(R = \sqrt {\frac{{79}}{{36}}}  = \frac{{\sqrt {79} }}{6}\)