Giải bài tập 5.2 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Viết phương trình của mặt phẳng:

a) Đi qua điểm \(M(1; - 2;4)\) và nhận \(\vec n = (2;3;5)\) làm vectơ pháp tuyến;

b) Đi qua điểm \(A(0; - 1;2)\) và song song với giá của mỗi vectơ \(\vec u = (3;2;1)\) và \(\vec v = ( - 3;0;1)\)

c) Đi qua ba điểm \(A( - 1;2;3),B(2; - 4;3),C(4;5;6)\)

d) Đi qua ba điểm \(A( - 3;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1)\).

Lời giải chi tiết

a) Đi qua điểm \(M(1; - 2;4)\) và nhận \(\vec n = (2;3;5)\) làm vectơ pháp tuyến:

Phương trình của mặt phẳng là:

\(2(x - 1) + 3(y + 2) + 5(z - 4) = 0\)

Rút gọn:

\(2x + 3y + 5z - 16 = 0\)

b) Đi qua điểm \(A(0; - 1;2)\) và song song với giá của mỗi vectơ \(\vec u = (3;2;1)\) và \(\vec v = ( - 3;0;1)\)

Tích có hướng của hai vectơ là:

\(\vec n = \vec u \times \vec v = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\3&2&1\\{ - 3}&0&1\end{array}} \right| = (2; - 6;6)\)

Phương trình mặt phẳng là:

\(2(x - 0) - 6(y + 1) + 6(z - 2) = 0\)

Rút gọn:

\(x - 3y + 3z - 9 = 0\)

c) Đi qua ba điểm \(A( - 1;2;3),B(2; - 4;3),C(4;5;6)\)

Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):

\(\overrightarrow {AB}  = (3; - 6;0),\quad \overrightarrow {AC}  = (5;3;3)\)

Tích có hướng:

\(\vec n = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AC}  = \left( {( - 6).3 - 0.3;\,\,0.5 - 3.3;\,\,3.3 - ( - 6).5} \right) = ( - 18; - 9;39)\)

Phương trình mặt phẳng là:

\( - 18(x + 1) - 9(y - 2) + 39(z - 3) = 0\)

Rút gọn:

\( - 6x - 3y + 13z - 39 = 0\)

d) Đi qua ba điểm \(A( - 3;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1)\).

Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):

\(\overrightarrow {AB}  = (3; - 2;0),\quad \overrightarrow {AC}  = (3;0; - 1)\)

Tích có hướng:

\(\vec n = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AC}  = \left( {( - 2).( - 1) - 0.0;\,\,0.3 - 3.( - 1);\,\,3.0 - ( - 2).3} \right) = (2;3;6)\)

Phương trình mặt phẳng là:

\(2x + 3y + 6z + 6 = 0\)