Giải bài tập 2.5 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A'B'C'. O là giao điểm của hai đường thẳng AB' và A'B.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng GO và CG' song song với nhau.

b) Tính độ dài của \(\overrightarrow {GO} \)trong trường hợp ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng, cạnh bên AA' = 3 và đáy là tam giác đều có cạnh bằng 2.

Lời giải chi tiết

Hình bình hành AA’B’B có O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm của AB’. Do đó: \(2\overrightarrow {GO}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB'}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'B'} \).

Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ có G, G’ lần lượt là trọng tâm của hai đáy nên: \(\overrightarrow {G'B'}  = \overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {CC'} ,\overrightarrow {G'C'}  = \overrightarrow {GC} \).

Suy ra: \(2\overrightarrow {GO}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {GB}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {CG'}  + \overrightarrow {G'C'}  + \overrightarrow {GB}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {CG'}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GB} \).

Áp dụng quy tắc trọng tâm của vectơ vào tam giác ABC, ta có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

Suy ra: \(2\overrightarrow {GO}  = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GB} } \right) + \overrightarrow {CG'}  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow {CG'}  = \overrightarrow {CG'} \).

Vì tồn tại \(k = \frac{1}{2} \ne 0\) nên GO và CG’ song song với nhau.

b)

Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ là lăng trụ đứng nên tam giác CC’G’ vuông tại C’, ta có: \(CG' = \sqrt {CC{'^2} + C'G{'^2}} \).

Mà G’ là trọng tâm của tam giác đều A’B’C’ nên: \(C'G' = \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.2 = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Suy ra: \(CG' = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {93} }}{3}\).

Từ câu a ta thấy \(\overrightarrow {GO}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CG'} \) nên \(\left| {\overrightarrow {GO} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {CG'} } \right| = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt {93} }}{3} = \frac{{\sqrt {93} }}{6}\).