Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính:

a) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ;\)

b) \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ;\)

c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .\)

Lời giải chi tiết

Giả sử hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh \(a\).

a) Tính \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AH} \):

- \(|\overrightarrow {BC} | = a\)

- \(|\overrightarrow {AH} | = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

- Góc giữa \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AH} \) là \({45^^\circ }\) vì \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} \) mà \(\widehat {\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AH} } \right)} = 45^\circ \)

Do đó:

\(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AH}  = |\overrightarrow {BC} | \cdot |\overrightarrow {AH} | \cdot \cos {45^\circ } = a \cdot a\sqrt 2  \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }} = {a^2}\)

b) Tính \(\overrightarrow {AF}  \cdot \overrightarrow {EG} \):

- \(|\overrightarrow {AF} | = a\sqrt 2 \)

- \(|\overrightarrow {EG} | = a\sqrt 2 \)

- Góc giữa \(\overrightarrow {AF} \) và \(\overrightarrow {EG} \) là \({60^\circ }\) vì \(\overrightarrow {EG}  = \overrightarrow {AC} \) mà tam giác ACF đều.

Do đó:

\(\overrightarrow {AF}  \cdot \overrightarrow {EG}  = |\overrightarrow {AF} | \cdot |\overrightarrow {EG} | \cdot \cos {60^\circ } = a\sqrt 2  \cdot a\sqrt 2  \cdot \frac{1}{2} = {a^2}\)

c) Tính \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {FE} \):

- \(|\overrightarrow {AC} | = a\sqrt 2 \)

- \(|\overrightarrow {FE} | = a\)

- Góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {FE} \) là \({135^\circ }\) vì góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và vectơ đối của \(\overrightarrow {FE} \) là \(\overrightarrow {EF} \) là \(45^\circ \) mà \(\widehat {\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {EF} } \right)} + \widehat {\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {FE} } \right)} = 180^\circ \)

Do đó:

\(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {FE}  = |\overrightarrow {AC} | \cdot |\overrightarrow {FE} | \cdot \cos {135^\circ } = a\sqrt 2  \cdot a \cdot \cos {135^\circ }\)

Vì \(\cos {135^\circ } =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\), ta có:

\(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {FE}  = a\sqrt 2  \cdot a \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) =  - {a^2}\)