Giải bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B, D, A’ tương ứng thuộc các tia Ox, Oy, Oz và AB = 1, AD = 2, AA’ = 3.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp.

b) Tìm điểm E trên đường thẳng DD’ sao cho \(B'E \bot A'C'\).

Lời giải chi tiết

a) Tọa độ các đỉnh của hình hộp chữ nhật là:

- A trùng với gốc tọa độ, tức A(0; 0; 0) .

- B thuộc tia Ox , nên B(1; 0; 0) (vì AB = 1 ).

- D thuộc tia Oy , nên D(0; 2; 0) (vì AD = 2 ).

- A’ thuộc tia Oz , nên A’(0; 0; 3) (vì AA’ = 3 ).

Các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật:

- C đối với A qua BD , tọa độ là C(1; 2; 0) .

- B’ đối với A qua A’C , tọa độ là B’(1; 0; 3) .

- D’ đối với A qua A’D , tọa độ là D’(0; 2; 3) .

- C’ đối với A qua B’D , tọa độ là C’(1; 2; 3) .

b) Tọa độ của điểm E trên đường thẳng DD’ :

- Đường thẳng DD’ có phương trình dạng:

\(x = 0,\quad y = 2,\quad z = t{\rm{.}}\) với t là tham số.

Tọa độ của E là E(0; 2; t) . Để \(B'E \bot A'C\), cần:

\(\overrightarrow {B'E}  \cdot \overrightarrow {A'C}  = 0\)

Tính các vectơ:

\(\overrightarrow {B'E}  = (0 - 1;2 - 0;t - 3) = ( - 1;2;t - 3)\)

\(\overrightarrow {A'C}  = (1 - 0;2 - 0;0 - 3) = (1;2; - 3)\)

Điều kiện vuông góc:

\(\overrightarrow {BE}  \cdot \overrightarrow {A'C}  = ( - 1) \times 1 + 2 \times 2 + (t - 3) \times ( - 3) =  - 1 + 4 - 3t + 9 = 0\)

Giải phương trình này:

\( - 1 + 4 - 3t + 9 = 0\quad  \Rightarrow \quad 12 = 3t\quad  \Rightarrow \quad t = 4\)

Vậy tọa độ của E là E(0; 2; 4) .