Giải bài 9.44 trang 66 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x\;{\rm{khi }}\,x \le 0\\ - {x^3} + mx\;{\rm{khi }}\,x > 0\end{array} \right.\), với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để hàm số có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) = 2x - 1\) với 

\(x \in \left( { - \infty ;0} \right]\) và \(f'\left( x \right) =  - 3{x^2} + m\) với

\(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó, hàm số có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi tồn tại \(f'\left( 0 \right)\).

Ta tính đạo hàm bên phải và bên trái điểm \(x = 0\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^2} + m} \right) = m\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 1} \right) =  - 1\).

Vậy hàm số có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(m =  - 1\).