Giải bài 9.43 trang 65 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + \sqrt {4 - {x^2}} \).

a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

b) Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm tập xác định của \(f'\left( x \right)\).

c) Tìm \(x\) sao cho \(f'\left( x \right) = 0\).

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện: \(4 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 2\). Tập xác định của hàm số là \(\left[ { - 2\,;\,2} \right]\).

b) Ta có: \(f'\left( x \right) = 1 + \frac{{{{\left( {4 - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\).

Tập xác định của \(f'\left( x \right)\) là \(\left( { - 2\,  ;\,2} \right)\).

c) Ta có:

 \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}}  = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\4 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \).