Bài 8 trang 72 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

$∆ABC$ có $BC= 15cm$. Trên đường cao $AH$ lấy các điểm $I,K$ sao cho $AK = KI = IH$. Qua $I$ và $K$ vẽ các đường $EF // BC, MN // BC$ (h.11)

a) Tính độ dài đoạn thẳng $MN$ và $EF$.

b) Tính diện tích tứ giác $MNFE$, biết diện tích của $∆ABC$ là $270$ cm²

Lời giải chi tiết

 a) Xét $∆AEI$ có $MK // EI$ do đó

$\dfrac{{AM}}{{ME}} = \dfrac{{AK}}{{KI}} = 1 \Rightarrow AM = ME$  (1)

Xét $∆ABH$ có $EI//BC$ do đó 

$\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AI}}{{AH}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow AE = \dfrac{2}{3}AB$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AM=ME=EB$.

Theo hệ quả của định lí Ta - lét, ta có:

$\dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow MN = \dfrac{1}{3}BC = \dfrac{1}{3}.15\left( {cm} \right)$$\,= 5\left( {cm} \right).$

$\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow EF = \dfrac{2}{3}BC = \dfrac{2}{3}.15\left( {cm} \right)$$\,= 10\left( {cm} \right).$

b) Áp dụng kết quả bài 7 ở trên ta có:

$\dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{MN.AK}}{{BC.AH}}$$\,= \dfrac{{MN}}{{BC}}.\dfrac{{AK}}{{AH}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}$

Suy ra ${S_{AMN}} = \dfrac{1}{9}{S_{ABC}}$

Tương tự, suy ra: ${S_{AEF}} = \dfrac{4}{9}{S_{ABC}}$.

Do đó: ${S_{MNEF}} = {S_{AEF}} - {S_{AMN}}$$\, = \dfrac{4}{9}{S_{ABC}} - \dfrac{1}{9}{S_{ABC}}$$\,= \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}$

Với ${S_{ABC}} = 270c{m^2}$, ta có ${S_{MNEF}} = \dfrac{1}{3}.270 = 90\left( {c{m^2}} \right).$

Loigiaihay.com