Bài 7 trang 71 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

$∆ABC$ có đường cao $AH$. Đường thẳng $d$ song song với $BC$, cắt các cạnh $AB, AC$ và đường cao $AH$ theo thứ tự tại các điểm $B', C'$ và $H'$(h.16)

a) Chứng minh rằng:

$\dfrac{AH'}{AH}= \dfrac{B'C'}{BC}$.

b) Áp dụng: Cho biết $AH' = \dfrac{1}{3} AH$ và diện tích $∆ABC$ là $67,5$ cm²

Tính diện tích $∆AB'C'$.

Lời giải chi tiết

a) $d // BC$. Theo hệ quả của định lí Ta - lét, ta có:

$\dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{AB'}{AB}=\dfrac{{AC'}}{{AC}}$   (1)

Xét $∆ABH$. Theo định lí Ta - lét, ta có:

$\dfrac{AH'}{AH} = \dfrac{AB'}{AB}$  (2)

Từ các hệ thức (1) và (2), suy ra $\dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{AH'}{AH}$    (3)

b)

$\displaystyle {S_{AB'C'}} = {1 \over 2}AH'.B'C'$

${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC$

$\dfrac{{{S_{AB'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}AH'.B'C'}}{{\dfrac{1}{2}AH.BC}}$$\, = \dfrac{{B'C'}}{{BC}}.\dfrac{{AH'}}{{AH}}$

Theo giả thiết ở câu b)

$AH' = \dfrac{1}{3}AH \Rightarrow \dfrac{{AH'}}{{AH}} = \dfrac{1}{3}$

Từ tỉ lệ thức (3), ta cũng có: $\dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{AH'}}{{AH}} = \dfrac{1}{3}$

Suy ra: $\dfrac{{{S_{AB'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}$ $\Rightarrow {S_{AB'C'}} = \dfrac{1}{9}{S_{ABC}}$.

Vậy ${S_{AB'C'}} = \dfrac{1}{9}.67,5\left( {c{m^2}} \right) = 7,5{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {c{m^2}} \right)$

Loigiaihay.com