Giải bài 6.13 trang 12 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{1}{{x + 2}};\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4{{x}} + 4}};\frac{5}{{2 - x}}$

b) $\frac{1}{{3{{x}} + 3y}};\frac{{2{{x}}}}{{{x^2} - {y^2}}};\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{{x^2} - 2{{x}}y + {y^2}}}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\frac{5}{{2 - x}} = \frac{{ - 5}}{{x - 2}}$

${x^2} - 4{{x}} + 4 = {\left( {x - 2} \right)^2}$

$MTC = \left( {x + 2} \right){\left( {x - 2} \right)^2}$

Nhân tử phụ của x+2 là ${\left( {x - 2} \right)^2}$

Nhân tử phụ của ${x^2} - 4{{x}} + 4$  là $x + 2$

Nhân tử phụ của x - 2 là (x+2)(x−2)

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{{x + 2}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x + 2} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4{{x  +  4}}}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\\frac{5}{{2 - x}} = \frac{{ - 5\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\end{array}$

b) Ta có: 3x+3y=3(x+y)

            ${x^2} - {y^2} = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)$

            ${x^2} + 2{{x}}y + {y^2} = {\left( {x - y} \right)^2}$

$MTC = 3\left( {x + y} \right){\left( {x - y} \right)^2}$

Nhân tử phụ của 3x+3y là: ${\left( {x - y} \right)^2}$

Nhân tử phụ của ${x^2} - {y^2}$ là: 3(x−y)

Nhân tử phụ của ${x^2} + 2{{x}}y + {y^2}$ là: 3(x+y)

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có: 

$\begin{array}{l}\frac{1}{{3{{x}} + 3y}} = \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{3\left( {x + y} \right){{\left( {x - y} \right)}^2}}}\\\frac{{2{{x}}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{6{{x}}\left( {x - y} \right)}}{{3\left( {x + y} \right){{\left( {x - y} \right)}^2}}}\\\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{{x^2} - 2{{x}}y + {y^2}}} = \frac{{3\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)}}{{3\left( {x + y} \right){{\left( {x - y} \right)}^2}}}\end{array}$