Giải bài 5.44 trang 38 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 8z + 5 = 0\).

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6z + 17 = 0\).

c) \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 5 = 0\).

Lời giải chi tiết

a) Trong không gian, mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {c^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

(S) có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Xét phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 8z + 5 = 0\) ta có \(a =  - 3,b = 0,c = 4,d = 5\).

Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 9 + 16 - 5 = 20 > 0\).

Do đó phương trình trên xác định một mặt cầu có tâm \(I\left( { - 3;0;4} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 \).

b) Trong không gian, mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {c^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

(S) có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Xét phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6z + 17 = 0\) ta có \(a = 2,b = 0,c =  - 3,d = 17\).

Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + 9 - 17 =  - 4 < 0\).

Do đó phương trình trên không phải là phương trình mặt cầu.

c) Trong không gian, mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {c^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

(S) có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Xét phương trình \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{5}{2} = 0\) ta có \(a = 0,b = 0,c = 0,d =  - \frac{5}{2}\).

Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{5}{2} > 0\).

Do đó phương trình trên xác định một mặt cầu có tâm \(I\left( {0;0;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {\frac{5}{2}} \).