Giải bài 5.39 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 2t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + s\\y = 2 - s\\z = 3 + 2s\end{array} \right.\)

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\).

b) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\).

c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua \(A\left( { - 3;2;2} \right)\) và song song với đường thẳng \(\Delta \).

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) lần lượt là \(\overrightarrow u  = \left( {3;2;1} \right)\) và \(\overrightarrow {u'}  = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Ta thấy hai vectơ chỉ phương này không cùng phương.

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2;1; - 1} \right)\), \(\Delta '\) đi qua điểm \(N\left( { - 1;2;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 3;1;4} \right)\); \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {5; - 5; - 5} \right)\).

Xét \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \cdot \overrightarrow {MN}  =  - 40 \ne 0\). Suy ra hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\)chéo nhau.

b) Ta có \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {3 - 2 + 2} \right|}}{{\sqrt {9 + 4 + 1}  \cdot \sqrt {1 + 1 + 4} }} = \frac{3}{{2\sqrt {21} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\).

c) Do d song song với \(\Delta \) nên nó có cùng vectơ chỉ phương với \(\Delta \).

Suy ra một vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u  = \left( {3;2;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + 3t\\y = 2 + 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\).