Giải bài 5.32 trang 72 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A; b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC. Quảng cáo
Đề bài Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A; b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC. Phương pháp giải - Xem chi tiết a) + Chứng minh \(\widehat {DAH} = 2\widehat {BAH}\), \(\widehat {HAE} = 2\widehat {HAC}\), \(\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = {90^o}\) suy ra \(\widehat {DAH} + \widehat {HAE} = {180^o}\) Do đó, ba điểm D, A, E thẳng hàng. + Vì D, E thuộc (A; AH) nên \(AE = AD\). Do đó, D và E đối xứng với nhau qua A. b) + Gọi O là trung điểm của BC. + Chứng minh A thuộc đường tròn tâm O, đường kính BC. + Chứng minh \(\widehat {HBA} = \widehat {HAC}\), \(\widehat {HAC} = \widehat {CAE}\) nên \(\widehat {HBA} = \widehat {CAE}\). + Chứng minh \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}\). + Chứng minh \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = {90^o}\), suy ra \(\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_1}} = {90^o}\) hay \(\widehat {OAE} = {90^o}\), suy ra \(DE \bot OA\) tại A, suy ra, DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A. Lời giải chi tiết
a) Vì \(BC \bot AH\) tại H nên BC là tiếp tuyến của (A), mà BD là tiếp tuyến của (A) nên AB là phân giác của góc DAH, suy ra \(\widehat {DAH} = 2\widehat {BAH} = 2\widehat {DAB}\). Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {HAE} = 2\widehat {HAC} = 2\widehat {CAE}\). Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = {90^o}\). Ta có: \(\widehat {DAH} + \widehat {HAE} = 2\widehat {BAH} + 2\widehat {HAC} \\= 2\left( {\widehat {BAH} + \widehat {HAC}} \right) = {2.90^o} = {180^o}\) Do đó, ba điểm D, A, E thẳng hàng. Vì D, E thuộc (A; AH) nên \(AE = AD\). Do đó, D và E đối xứng với nhau qua A. b) Gọi O là trung điểm của BC. Tam giác ABC vuông tại A có AO là đường trung tuyến nên \(AO = OB = OC\). Do đó, A thuộc đường tròn tâm O, đường kính BC. Ta có: \(\widehat {HBA} + \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_1}} + \widehat {HAC}\left( { = {{90}^o}} \right)\) nên \(\widehat {HBA} = \widehat {HAC}\). Mà \(\widehat {HAC} = \widehat {CAE}\) nên \(\widehat {HBA} = \widehat {CAE}\) Vì \(AO = OC\) nên tam giác AOC cân tại O, suy ra \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}\) Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = {90^o}\), suy ra \(\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_1}} = {90^o}\) hay \(\widehat {OAE} = {90^o}\). Do đó, \(DE \bot OA\) tại A. Do đó, DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A.  Chia sẻ Bình luận
Quảng cáo
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
|
