Giải bài 5.11 trang 29 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 + t\\z = 4 - 3t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2s\\y = 2 - s\\z = 5 + 3s\end{array} \right.\)

a) Chứng minh rằng \(d\parallel d'\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(d\) và \(d'\).

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của \(d\), \(d'\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( { - 2; - 1;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{u_d}}  =  - \overrightarrow {{u_{d'}}} \) hay  \(\) cùng phương do đó \(d\) và \(d'\) song song hoặc trùng nhau.

Lấy \(A\left( {1; - 2;4} \right) \in d\) ta sẽ kiểm tra \(A\) có thuộc \(d'\) hay không.

Thay tọa độ A vào phương trình của \(d'\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - 2s\\ - 2 = 2 - s\\4 = 5 + 3s\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}s = 0\\s = 4\\s = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.\)(Vô lý). Do đó \(d'\) không đi qua A.

Vậy \(d\parallel d'\).

b) Lấy \(B\left( {1;2;5} \right) \in d'\), do \(d\parallel d'\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\)chứa hai đường thẳng này nhận tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và một trong hai vectơ chỉ phương của một trong hai đường thẳng đang xét là một vectơ pháp tuyến.

Xét \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;4;1} \right)\) ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {13; - 2;8} \right) = \overrightarrow {{n_P}} \).

Phương trình mặt phẳng của \(\left( P \right)\) là \(13\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 2} \right) + 8\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 13x - 2y + 8z - 49 = 0\).