Giải bài 5 trang 103 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạoCho hình ngũ giác đều ABCDE có tâm O. Chứng minh rằng: Quảng cáo
Đề bài Cho hình ngũ giác đều ABCDE có tâm O. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow 0 \) Lời giải chi tiết Không mất tính tổng quát giả sử \(OA = OB = OC = OD = OE = 1\) Ta có: \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOA} = {360^ \circ }:5 = {72^ \circ }\) + Dựng hình bình hành OEHB. Vì OE=OB nên OEHB là hình thoi, suy ra H thuộc tia phân giác của \(\widehat {EOB}\)hay H thuộc OA. \( \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} } \right) = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OM} \) với M thuộc OA sao cho OM = OH +OA. + Tính OM: Xét tam giác OHE, ta có: \(\widehat {HOE} = 72;OE = HE = 1\) \( \Rightarrow \widehat {OHE} = {72^o} \Rightarrow \widehat {OEH} = {180^ \circ } - {72^o} - {72^o} = {36^ \circ }\) Áp dụng định lí cosin: \(O{H^2} = O{E^2} + E{H^2} - 2.OE.OH.\cos E\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow O{H^2} = 1 + 1 - 2.\cos {36^ \circ } \approx 0,382\\ \Rightarrow OH = 0,618\\ \Rightarrow OM = OH + OA = 0,618 + 1 = 1,618\end{array}\) + Dựng hình bình hành OCKD, ta có: \(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OK} \) Vì OC=OD nên OCKD là hình thoi => OK là tia phân giác của \(\widehat {COD}\) \( \Rightarrow \widehat {COK} = \frac{1}{2}\widehat {COD} = \frac{1}{2}{.72^o} = {36^o}\) \( \Rightarrow \widehat {KOA} = \widehat {KOC} + \widehat {COB} + \widehat {BOA} = {36^ \circ } + {72^ \circ } + {72^ \circ } = {180^ \circ }\) Hay K, O, A thẳng hàng, do đó K, O, M thẳng hàng (do M thuộc OA). +Tính OK: Xét tam giác OCK, ta có: \(\begin{array}{l}OC = CK = 1;\widehat {COK} = {36^o} \Rightarrow \widehat {CKO} = {36^o}\\ \Rightarrow \widehat {OCK} = {180^o} - {36^o} - {36^o} = {108^o}\\ \Rightarrow O{K^2} = O{C^2} + C{K^2} - 2.OC.CK.\cos \widehat {OCK}\\ \Leftrightarrow O{K^2} = 1 + 1 - 2.\cos {108^o} \approx 2,618\\ \Rightarrow OK = 1,618 = OM\end{array}\) Vậy O là trung điểm KM hay \(\overrightarrow {OK} + \overrightarrow {OM} = \overrightarrow 0 \) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\\ = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OK} = \overrightarrow 0 (dpcm)\end{array}\)
Quảng cáo
|