Bài 48 trang 128 Vở bài tập toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Lấy $M$ là một điểm bất kì thuộc cạnh $BC$. Gọi $MD$ là đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB$, $ME$ là đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AC$, $O$ là trung điểm của $DE$.

a) Chứng mình rằng ba điểm $A, O, M$ thẳng hàng.

b) Khi điểm $M$ di chuyển trên cạnh $BC$ thì điểm $O$ di chuyển trên đường nào ?

c) Điểm $M$ ở vị trí nào trên cạnh $BC$ thì $AM$ có độ dài nhỏ nhất?

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác $ADME$ có: $\widehat {A} = {90^0}$ (giả thiết), $\widehat D = {90^o}$ (vì $MD\bot AB$), $\widehat E = {90^o}$ (vì $ME\bot AC$) nên là hình chữ nhật. 

Vì $O$ là trung điểm của $DE$ nên $O$ cũng là trung điểm của $AM$. Do đó $A, O, M$ thẳng hàng.

b) Kẻ $AH ⊥ BC$, $OK ⊥ BC$, ta có $OK // AH$ (do cùng vuông góc với $BC$).

Tam giác $AHM$ có $OA=OM$ và $OK // AH$ nên $OK$ là đường trung bình, suy ra $OK =\dfrac{1}{2}AH$

Điểm $O$ cách $BC$ một khoảng không đổi bằng $\dfrac{1}{2}AH$ nên $O$ di chuyển trên đường thẳng song song với $BC$ và cách $BC$ một khoảng bằng $\dfrac{1}{2}AH$

Gọi giao điểm của đường thẳng đó với $AB, AC$ théo thứ tự $P,Q$. Vì $M$ chỉ di chuyển trên cạnh $BC$ nên $O$ chỉ di chuyển trên đoạn thẳng $PQ$ 

Lưu ý: Điểm $P$ là trung điểm của $AB$, điểm $Q$ là trung điểm của $AC$.

Loigiaihay.com