Bài 4.38 trang 208 SBT giải tích 12

LG a

$\overline z  = {z^3}$

Phương pháp giải:

Nhân cả hai vế với $z$ và đặt $z = a + bi$, biến đổi phương trình suy ra $a,b$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $z\overline z  = {\left| z \right|^2}$ nên từ $\overline z  = {z^3} \Rightarrow {\left| z \right|^2} = {z^4}$

Đặt $z  = a+ bi$, suy ra:

$\begin{array}{l} {a^2} + {b^2} = {\left( {a + bi} \right)^4} = {\left[ {{{\left( {a + bi} \right)}^2}} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^4} + {b^4} + {\left( {2abi} \right)^2}\\ - 2{a^2}{b^2} - 2{b^2}.2abi + 2{a^2}.2abi\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^4} + {b^4} - 4{a^2}{b^2}\\ - 2{a^2}{b^2} - 4a{b^3}bi + 4{a^3}bi\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2}\\ + 4{a^2}{b^2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right)i\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} - {a^2} - {b^2}\\ + 4{a^2}{b^2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4{a^2}{b^2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 0\,\,\left( 1 \right)\\ {a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} - {a^2} - {b^2} = 0\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right. \end{array}$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {a^2} = 0\\ {b^2} = 0\\ {a^2} - {b^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ b = 0\\ {a^2} = {b^2} \end{array} \right.$

+) Nếu $a = 0$ thay vào $\left( 2 \right)$ được ${b^4} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow {b^2}\left( {{b^2} - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{b^2} = 0\\{b^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b =  \pm 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = i\\z =  - i\end{array} \right.$

+) Nếu $b = 0$ thay vào $\left( 2 \right)$ ta được ${a^4} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2}\left( {{a^2} - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} = 0\\{a^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a =  \pm 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z =  \pm 1\end{array} \right.$

+) Nếu ${a^2} = {b^2}$ thay vào $\left( 2 \right)$ ta được:

${a^4} + {a^4} - 6{a^4} - {a^2} - {a^2} = 0$$\Leftrightarrow  - 4{a^4} - 2{a^2} = 0$  $\Leftrightarrow  - 2{a^2}\left( {2{a^2} + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 0$

(vì $2{a^2} + 1 > 0,\forall a$ )

$\Rightarrow b = a = 0 \Rightarrow z = 0$

Vậy các số phức cần tìm là $z = 0,z =  \pm 1,z =  \pm i$.

LG b

$|z| + z = 3 + 4i$

Phương pháp giải:

Đặt $z = a + bi$ thay vào điều kiện bài cho tìm $a,b$ và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt $z = a + bi$. Từ $\left| z \right| + z = 3 + 4i\;$suy ra

$\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a + bi = 3 + 4i$

$\Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a - 3 + \left( {b - 4} \right)i = 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a - 3 = 0\\b - 4 = 0\end{array} \right.$

Ta có: $b - 4 = 0 \Leftrightarrow b = 4$ thay vào phương trình trên ta được:

$\sqrt {{a^2} + 16}  + a - 3 = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 16}  = 3 - a$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - a \ge 0\\{a^2} + 16 = 9 - 6a + {a^2}\end{array} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\6a + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\a =  - \dfrac{7}{6}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow a =  - \dfrac{7}{6}$

$\Rightarrow z =  - \dfrac{7}{6} + 4i$

Vậy $z =  - \dfrac{7}{6} + 4i$.

Loigiaihay.com