Bài 4.24 trang 204 SBT giải tích 12

Đề bài

Cho $z \in \mathbb{C}$. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\dfrac{1}{z} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}$

B. $\dfrac{1}{z}$ là thuần ảo $\Leftrightarrow z$ là thuần ảo

C. $\dfrac{1}{z} = \overline z  \Leftrightarrow \left| z \right| = 1$

D. $\left| {\dfrac{1}{z}} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}$

Lời giải chi tiết

Đáp án A: $\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{a + bi}} = \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}$

Do đó $\dfrac{1}{z} \in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow  - \dfrac{b}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow b = 0$ hay $z = a \in \mathbb{R}$.

A đúng.

Đáp án B: $\dfrac{1}{z}$ thuần ảo $\Leftrightarrow \dfrac{a}{{{a^2} + {b^2}}} = 0 \Leftrightarrow a = 0$ hay $z = bi$ thuần ảo.

B đúng.

Đáp án C: $\dfrac{1}{z} = \overline z  \Leftrightarrow \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}} = a - bi$ $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Leftrightarrow \left| z \right| = 1$

C đúng.

Đáp án D: $\left| {\dfrac{1}{z}} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow {\left| {\dfrac{1}{z}} \right|^2} = {\left| z \right|^2}$$\Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} = {a^2} + {b^2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} = {a^2} + {b^2}$ $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1$ hay $\left| z \right| = 1$ chứ chưa kết luận được $z \in \mathbb{R}$.

D sai.

Chọn D.

Loigiaihay.com