Giải bài 40 trang 121 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABE vuông cân tại A với AB = AE = 2a. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB và đường tròn tâm O’ đường kính AE. Gọi M là giao điểm khác A của hai đường tròn (O), (O’) (Hình 44). Tính theo a:

a) Độ dài cung AmM và cung AnM tương ứng của đường tròn (O) và (O’);

b) Diện tích của phần tô màu xám theo a.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(O'A = O'E = O'M = \frac{{AE}}{2}\) (cùng bằng bán kính (O’)) và \(OA = OB = OM = \frac{{AB}}{2}\) (cùng bằng bán kính (O))

Mà AB = AE = 2a nên \(O'A = O'E = O'M = OA = OB = OM = a\)

Xét tứ giác AOMO’ có \(O'A = O'M = OA = OM\) và\(\widehat {O'AO} = 90^\circ \) nên AOMO’ là hình vuông. Suy ra \(\widehat {AO'M} = \widehat {AOM} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {AO'M}\) là góc ở tâm chắn cung AnB của (O’) và \(\widehat {AOM}\) là góc ở tâm chắn cung AmB của (O) nên sđ \(\overset\frown{AnB}\)= sđ \(\overset\frown{AmB}\) \( = 90^\circ \). Hơn nữa 2 đường tròn (O) và (O’) có cùng bán kính là a , do đó độ dài cung AmM và cung AnM tương ứng của đường tròn (O) và (O’) là

\(l = \frac{{\pi Rn}}{{180}} = \frac{{\pi .a.90}}{{180}} = \frac{{\pi a}}{2}\)

b) Diện tích quạt tròn của (O’;R), cung AnM có số đo \(90^\circ \) là:

\({S_1} = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi .{a^2}.90}}{{360}} = \frac{{\pi .{a^2}}}{4}\)

Diện tích tam giác O’AM là

\({S_2} = \frac{1}{2}O'A.O'M = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Diện tích phần tô đậm được giới hạn bởi cung AnM và dây AM là:

\(S' = {S_1} - {S_2} = \frac{{\pi {a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{\left( {\pi  - 2} \right){a^2}}}{4}\)

Diện tích quạt tròn của (O;R), cung AmM có số đo \(90^\circ \) là:

\({S_1}' = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi .{a^2}.90}}{{360}} = \frac{{\pi .{a^2}}}{4}\)

Diện tích tam giác OAM là

\({S_2}' = \frac{1}{2}OA.OM = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Diện tích phần tô đậm được giới hạn bởi cung AmM và dây AM là:

\(S = {S_1}' - {S_2}' = \frac{{\pi {a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{\left( {\pi  - 2} \right){a^2}}}{4}\)

Diện tích phần tô đậm cần tìm là:

\(S' + S = \frac{{\left( {\pi  - 2} \right){a^2}}}{4} + \frac{{\left( {\pi  - 2} \right){a^2}}}{4} = \frac{{\left( {\pi  - 2} \right){a^2}}}{2}\)