Bài 3.8 trang 103 SBT hình học 12

Đề bài

Trong không gian cho ba vecto tùy ý  \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \). Gọi  \(\overrightarrow u  = \overrightarrow a  - 2\overrightarrow b ,\) \(\overrightarrow v  = 3\overrightarrow b  - \overrightarrow c ,\) \(\overrightarrow {\rm{w}}  = 2\overrightarrow c  - 3\overrightarrow a \).

Chứng tỏ rằng ba vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng.

Lời giải chi tiết

Giả sử có \(\overrightarrow {\rm{w}}  = p\overrightarrow u  + q\overrightarrow v \)

\(2\overrightarrow c  - 3\overrightarrow a  = p(\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b ) + q(3\overrightarrow b  - \overrightarrow c ) \)

\( \Leftrightarrow  (3 + p)\overrightarrow a  + (3q - 2p)\overrightarrow b  - (q + 2)\overrightarrow c  = \overrightarrow 0 \)(1)

Vì ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) lấy tùy ý  nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 + p = 0}\\{3q - 2p = 0}\\{q + 2 = 0}\end{array}} \right. \) \( \Rightarrow   \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{p =  - 3}\\{q =  - 2}\end{array}} \right.\)

Như vậy ta có: \(\overrightarrow {\rm{w}}  =  - 3\overrightarrow u  - 2\overrightarrow v \)  nên ba vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng.

Loigiaihay.com