Bài 3.57 trang 183 SBT giải tích 12

Đề bài

Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\displaystyle  \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\frac{{\sin x}}{x}dx}  < \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\frac{{\cos x}}{x}dx}$

B. $\displaystyle  \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^1 {\frac{{\tan x}}{x}dx}  > \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^1 {\frac{{\cot x}}{x}dx}$

C. $\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^4}xdx}  < \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx}$

D. $\displaystyle  \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx}  < \int\limits_1^e {\frac{{{e^x}}}{x}dx}$

Lời giải chi tiết

Đáp án A:

Xét $\displaystyle  I = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\frac{{\sin x}}{x}dx}  - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\frac{{\cos x}}{x}dx}$ $\displaystyle   = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\left( {\frac{{\sin x - \cos x}}{x}} \right)dx}$

Dễ thấy trên đoạn $\displaystyle  \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right]$ thì $\displaystyle  x > 0$ và $\displaystyle  \sin x > 0 > \cos x$ $\displaystyle   \Rightarrow \sin x - \cos x > 0$

Suy ra $\displaystyle  \frac{{\sin x - \cos x}}{x} > 0$ $\displaystyle   \Rightarrow I = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\left( {\frac{{\sin x - \cos x}}{x}} \right)dx}  > 0$

$\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\frac{{\sin x}}{x}dx}  > \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\frac{{\cos x}}{x}dx}$.

Vậy A sai.

Chọn A.

Loigiaihay.com