Giải bài 3.5 trang 55 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Xét ∆DOE và ∆COE có:

$\widehat {O{\rm{D}}E} = \widehat {OC{\rm{E}}} = {90^o}$ (vì OD ⊥ DE; OC ⊥ CE)

EC = ED (giả thiết)

Cạnh OE chung

Do đó ∆DOE = ∆COE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra OC = OD (hai cạnh tương ứng).

Do đó tam giác OCD cân tại O nên $\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}$

Vì ABCD là hình thang nên AB // CD suy ra $\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}};\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}$ (cặp góc so le trong).

Do đó $\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}$ (vì $\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}$)

Suy ra tam giác OAB cân tại O nên OA = OB.

Do OA = OB, OC = OD nên OA + OC = OB + OD nên AC = BD

Nên ABCD là hình thang cân theo dấu hiệu nhận biết "nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân".