Bài 3.43 trang 132 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và  DD’.

Lời giải chi tiết

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho: C là gốc tọa độ, \(\overrightarrow {CD}  = a\overrightarrow i ;\overrightarrow {CB}  = a\overrightarrow j ;\overrightarrow {CC'}  = a\overrightarrow k \)

Trong hệ tọa độ vừa chọn ta có: C(0; 0; 0), A’(a; a ; a), D(a,; 0;0), D’(a; 0; a)

\(\overrightarrow {CA'}  = (a;a;a),\overrightarrow {{\rm{DD}}'}  = (0;0;a)\)

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\overrightarrow {CA'} \) và song song với  \(\overrightarrow {DD'} \).

Mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {CA'} ,\overrightarrow {{\rm{DD}}'} } \right] = ({a^2}; - {a^2};0)\) hay x – y = 0

Phương trình tổng quát của \((\alpha )\) là x – y = 0.

Ta có: \(d\left( {CA',DD'} \right) = d\left( {D,\left( \alpha  \right)} \right)\) \( = \dfrac{{\left| { - a} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 0} }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Loigiaihay.com