Bài 3.44 trang 132 SBT hình học 12

Đề bài

Cho mặt phẳng $(\alpha )$ : 2x + y  +z – 1 = 0  và đường thẳng d: $\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 3}}$

Gọi M là giao điểm của d và $(\alpha )$, hãy viết phương trình của đường thẳng $\Delta$  đi qua M vuông góc với d và nằm trong $(\alpha )$.

Lời giải chi tiết

Phương trình tham số của đường thẳng d: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = t}\\{z =  - 2 - 3t}\end{array}} \right.$

Xét phương trình $2(1 + 2t) + t + ( - 2 – 3t) – 1 = 0$ $\Leftrightarrow 2t - 1 = 0$ $\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}$

Vậy đưởng thẳng d cắt mặt phẳng $(\alpha )$ tại điểm $M\left( {2;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right)$.

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là  $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2;1;1)$ và $\overrightarrow {{u_d}}  = (2;1; - 3)$.

Gọi $\overrightarrow {{u_\Delta }}$ là vecto pháp tuyến của $\Delta$, ta có $\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_\alpha }}$ và $\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{u_d}}$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 4;8;0} \right)$ nên chọn $\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1; - 2;0} \right)$

Vậy phương trình tham số của $\Delta$ là  $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = \dfrac{1}{2} - 2t}\\{z =  - \dfrac{7}{2}}\end{array}} \right.$

Loigiaihay.com