Bài 3.45 trang 132 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hai đường thẳng d₁: $\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 5}}{4}$ và d₂: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7 + 3t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.$

a) Chứng minh rằng d₁ và d₂ cùng nằm trong một mặt phẳng $(\alpha )$.

b) Viết phương trình của $(\alpha )$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\overrightarrow {{u_{{d_1}}}}  = \left( {2; - 3;4} \right)$ và $\overrightarrow {{u_{{d_2}}}}  = (3;2; - 2)$

$\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = ( - 2;16;13)$

Lấy điểm M₁(1; -2; 5) trên d₁ và điểm M₂(7;2;1) trên d₂.

Ta có $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (6;4; - 4)$; $\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  =  - 12 + 64 - 52 = 0$

Suy ra ${d_1}$ và ${d_2}$ cùng nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$

b) Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa ${M_1}$ và có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n$ , vậy phương trình của $(\alpha )$ là:

$– 2(x – 1)  +16(y + 2) + 13(z – 5) = 0$  hay $2x – 16y – 13z + 31 = 0$.

Loigiaihay.com