Giải bài 3.30 trang 40 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

Đề bài

a) Chứng minh rằng \(\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 - \sqrt 5 }  = 2\) và \(\sqrt {3 + \sqrt 5 }  + \sqrt {3 - \sqrt 5 }  = \sqrt {10} \).

b) Rút gọn các biểu thức sau:

\(A = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^3} + {\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^3}\);

\(B = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^5} + {\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^5}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

+) \(\sqrt {3 + \sqrt 5 } .\sqrt {3 - \sqrt 5 } \)

\( = \sqrt {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} \\ = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \\ = \sqrt 4  = 2\)

+) \({\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 }  + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} \)

\(= 3 + \sqrt 5  + 2\sqrt {3 + \sqrt 5 } \sqrt {3 - \sqrt 5 }  + 3 - \sqrt 5 \\ = 6 + 2.2 = 10\)

Do đó, \(\sqrt {3 + \sqrt 5 }  + \sqrt {3 - \sqrt 5 }  = \sqrt {10} \).

b) Đặt \(a = \sqrt {3 + \sqrt 5 } ,b = \sqrt {3 - \sqrt 5 } \).

Theo a ta có: \(ab = 2,a + b = \sqrt {10} \)

Ta có:

\({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) \\= {\left( {\sqrt {10} } \right)^3} - 3.2\sqrt {10}  \\= 10\sqrt {10}  - 6\sqrt {10} \\ = 4\sqrt {10} \)

Vậy \(A = 4\sqrt {10} \)

\(B = {a^5} + {b^5} \\= \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^3} + {b^3}} \right) - {a^2}{b^3} - {a^3}{b^2} \\ = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab} \right]A - {\left( {ab} \right)^2}\left( {a + b} \right)\\ = \left[ {{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2} - 2.2} \right].4\sqrt {10}  - {2^2}.\sqrt {10}  \\= 20\sqrt {10} \)