Giải bài 3.3 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho elip \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)

a) Qua tiêu điểm của elip vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài của đoạn thẳng AB.

b) Tìm điểm M trên elip sao cho \(M{F_1} = 2M{F_2}\) với \({F_1}\) and \({F_2}\) là hai tiêu điểm của elip (độ hoàn thành của \( {F_1}\) âm)

Lời giải chi tiết

a) Ta có PTCT của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)

\( \Rightarrow a = 3,b = \sqrt 5 ,c = 2\). Tiêu điểm \({F_1}( - 2;0),{F_2}(2;0)\) 

Do hai tiêu điểm đối xứng nhau qua O(0;0) nên ta chỉ cần khảo sát đường thẳng qua một tiêu điểm.

Gọi d là đường thẳng đi qua \({F_2}(2;0)\) góc với trục Ox, cắt elip tại A và B.

Khi đó \(d:x = 2\) và \(A\left( {2;{y_A}} \right),B\left( {2;{y_B}} \right)\) và \(AB = 2.|{y_A}|\)

Vì A thuộc elip nên \(\frac{{{2^2}}}{9} + \frac{{{y_A}^2}}{5} = 1 \Rightarrow \left| {{y_A}} \right | = \frac{5}{3}\)

Do đó chiều dài đoạn AB là \(\frac{{10}}{3}.\)

b) Ta có: \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}{x_M},\;M{F_2} = a - \frac{c}{a}{x_M}.\)

Mà \(a = 3,c = 2,M{F_1} = 2M{F_2}.\)

\(\begin{array}{l}3 + \frac{2}{3}{x_M} = 2.\left( {3 - \frac{3}{2}.{x_M}} \right)\\3 + \frac{2}{3}{x_M} = 6 - 3{x_M}\\ \Rightarrow {x_M}\left( {\frac{2}{3} + 3} \right) = 6 - 3\\ \Rightarrow {x_M} = \frac{3}{2}\end{array}\) 

 Vì \(M\) thuộc elip nên \({\frac{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}}{9}^2} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1 \Rightarrow \frac{{{y^2}}}{5} = \frac{3}{4} \Rightarrow y =  \pm \frac{{\sqrt {15} }}{2}\)

Do đó có hai điểm M thỏa mãn, có tọa độ là \(\left( {\frac{3}{2};\frac{{\sqrt {15} }}{2}} \right),\left( {\frac{3}{2}; - \frac{{\sqrt {15} }}{2}} \right).\)