Giải bài 3 trang 9 SBT toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để:

a) $f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 9} \right){x^2} + \left( {m + 6} \right)x + 1$ là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất

b) $f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 1$ là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt

c) $f\left( x \right) = m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 1$ là một tam thức bậc hai vô nghiệm

Lời giải chi tiết

a) Để $f\left( x \right)$ là tam thức bậc hai thì ${m^2} + 9 \ne 0$ đúng với mọi $m \in \mathbb{R}$

Mặt khác, tam thức trên có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $\Delta  = 0$

hay ${\left( {m + 6} \right)^2} - 4.\left( {{m^2} + 9} \right) = 0 \Rightarrow  - 3{m^2} + 12m = 0$ suy ra $m = 0$ hoặc $m = 4$

Vậy khi $m = 0$ hoặc $m = 4$ thì $f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 9} \right){x^2} + \left( {m + 6} \right)x + 1$ là một tam thức bậc hai có một nghiệm duy nhất

b) Để $f\left( x \right)$ là tam thức bậc hai thì $m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$     (*)

Mặt khác, tam thức trên có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta  > 0$

hay ${3^2} - 4.\left( {m - 1} \right) > 0 \Rightarrow  - 4m + 13 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}$        (**)

Kết hợp (*) và (**) ta được $m \in \left( { - \infty ;\frac{{13}}{4}} \right)\backslash 1$

Vậy khi $m \in \left( { - \infty ;\frac{{13}}{4}} \right)\backslash 1$ thì $f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 1$ là một tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt

c) Để $f\left( x \right)$ là tam thức bậc hai thì $m \ne 0$           

Mặt khác, tam thức trên vô nghiệm khi và chỉ khi $\Delta  < 0$

hay ${\left( {m + 2} \right)^2} - 4m < 0 \Rightarrow {m^2} + 4 < 0$

Ta có ${m^2} \ge 0\;\forall m \in \mathbb{R} \Rightarrow {m^2} + 4 \ge 4 > 0\;\forall m \in \mathbb{R}$,

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán