Giải bài 3 trang 59 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Các vật liệu xây dựng đều có hệ số dãn nở. Vì thế, khi đặt dầm cầu, người ta thường đặt cố định một đầu dầu, đầu còn lại đặt trên một con lăn có thể di động được nhằm giải quyết sự dãn nở của vật liệu. Hình 21 minh họa một dầm cầu được đặt ở hai bờ kênh, giới hạn bởi hai cung parabol có cùng trục đối xứng. Người ta thiết kế các thanh giằng nối hai cung parabol đó sao cho các thanh giằng theo phương thẳng đứng cách đều nhau và cách đều hai đầu dầm.

Tính tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng.

Lời giải chi tiết

Ta chọn hai hệ trục toạ độ Oxy và O'xy' sao cho đỉnh của mỗi parabol trùng với O và O' (như hình vẽ, đơn vị trên các trục là mét).

Ta cần tính các đoạn $OO',{A_1}{A_2},{B_1}{B_2},{C_1}{C_2}$

Dễ thấy OO' = AA' = BB' = CC' = 9.

+ Xét trong hệ trục toạ độ Oxy:

Giả sử parabol (P) có phương trình: ${y^2} = 2px$ trong đó $p > 0$

Khi đó D có toạ độ (21; 40) thuộc (P) nên ${40^2} = 2p.21 \Rightarrow 2p = \frac{{1600}}{{21}}$

Vậy phương trình của (P) là ${y^2} = \frac{{1600}}{{21}}x$.

Với $y = 10 \Rightarrow x = 1,3125 \Rightarrow A{A_1} = 1,3125$

Với $y = 20 \Rightarrow x = 5,25 \Rightarrow B{B_1} = 5,25$

Với $y = 30 \Rightarrow x = 11,8125 \Rightarrow C{C_1} = 11,8125$

+ Xét trong hệ trục toạ độ O'xy':

Giả sử parabol (P') có phương trình: $y{'^2} = 2px$ trong đó $p > 0$

Khi đó D có toạ độ (12; 40) thuộc (P) nên ${40^2} = 2p.12 \Rightarrow 2p = \frac{{400}}{3}$

Vậy phương trình của (P) là $y{'^2} = \frac{{400}}{3}x$.

Với $y' = 10 \Rightarrow x = 0,75 \Rightarrow A'{A_1} = 0,75$

Với $y' = 20 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow B'{B_1} = 3$

Với $y' = 30 \Rightarrow x = 6,75 \Rightarrow C'{C_1} = 6,75$

+ Tính các đoạn $OO',{A_1}{A_2},{B_1}{B_2},{C_1}{C_2}$:

${A_1}{A_2} = A{A_2} - A{A_1} = \left( {AA' + A'{A_2}} \right) - A{A_1} = \left( {9 + 0,75} \right) - 1,3125 = 8,3475$

Tương tự, ta tính được ${B_1}{B_2} = 6,75;{C_1}{C_2} = 3,9375$

Tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là: $OO' + 2{A_1}{A_2} + 2{B_1}{B_2} + 2{C_1}{C_2} = 9 + 2.8,3475 + 2.6,75 + 2.3,9375 = 47,07$

Vậy tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là 47,07 mét